二次餘數英文解釋翻譯、二次餘數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 QR

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

餘數的英語翻譯：

remainder; residual; residue
【計】 remainder
【經】 balance outstanding; residuum

專業解析

二次餘數（quadratic residue）是數論中的核心概念，指一個整數$q$在模奇素數$p$下存在平方同餘解的數學性質。具體定義為：若存在整數$x$滿足$x equiv q(mathrm{mod} p)$，則稱$q$為模$p$的二次剩餘，否則稱為二次非剩餘。

該理論由歐拉和高斯系統發展，其判定标準包含兩個關鍵點：

歐拉判别準則：$q^{(p-1)/2} equiv 1(mathrm{mod} p)$時，$q$為模$p$的二次剩餘
二次互反律：揭示不同素數間二次剩餘關系的對稱性規律，被稱為"數論之母"

在應用層面，二次餘數理論支撐着現代密碼學算法設計，特别是在構建Rabin加密系統等公鑰密碼體制中發揮基礎作用。其數學特性還被運用于聲學工程中的僞隨機序列構造。

權威參考資料：

數學經典《Disquisitiones Arithmeticae》（高斯，1801）
美國數學會《數論指南》第3章二次剩餘
斯普林格《應用密碼學手冊》第2.4節密碼學應用

網絡擴展解釋

二次餘數（即二次剩餘）是數論中的重要概念，具體解釋如下：

定義

在模運算中，若存在整數( x )使得方程 ( x equiv a(text{mod} p) ) 有解，則稱( a )是模奇素數( p )的二次剩餘；若無解，則稱為二次非剩餘。例如：

模( 5 )時，( 1 equiv 1(text{mod} 5) )，( 2 equiv 4(text{mod} 5) )，因此( 1 )和( 4 )是模( 5 )的二次剩餘。

歐拉判别條件

判斷( a )是否為模( p )的二次剩餘，可用歐拉準則： $$ a^{frac{p-1}{2}} equiv 1(text{mod} p) quad text{（是二次剩餘）} $$ 或 $$ a^{frac{p-1}{2}} equiv -1(text{mod} p) quad text{（是非剩餘）} $$

應用場景

二次剩餘在密碼學（如Rabin加密）、隨機數生成等領域有重要用途，尤其在涉及模運算的算法設計中。

與普通餘數的區别

普通餘數指除法運算中的剩餘值（如( 8 div 3 )餘( 2 )），而二次餘數強調平方後的同餘關系是否可解。兩者屬于不同維度的數學概念。

如需更完整的數論推導，可參考權威資料。