二次余数英文解释翻译、二次余数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 QR

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

余数的英语翻译：

remainder; residual; residue
【计】 remainder
【经】 balance outstanding; residuum

专业解析

二次余数（quadratic residue）是数论中的核心概念，指一个整数$q$在模奇素数$p$下存在平方同余解的数学性质。具体定义为：若存在整数$x$满足$x equiv q(mathrm{mod} p)$，则称$q$为模$p$的二次剩余，否则称为二次非剩余。

该理论由欧拉和高斯系统发展，其判定标准包含两个关键点：

欧拉判别准则：$q^{(p-1)/2} equiv 1(mathrm{mod} p)$时，$q$为模$p$的二次剩余
二次互反律：揭示不同素数间二次剩余关系的对称性规律，被称为"数论之母"

在应用层面，二次余数理论支撑着现代密码学算法设计，特别是在构建Rabin加密系统等公钥密码体制中发挥基础作用。其数学特性还被运用于声学工程中的伪随机序列构造。

权威参考资料：

数学经典《Disquisitiones Arithmeticae》（高斯，1801）
美国数学会《数论指南》第3章二次剩余
斯普林格《应用密码学手册》第2.4节密码学应用

网络扩展解释

二次余数（即二次剩余）是数论中的重要概念，具体解释如下：

定义

在模运算中，若存在整数( x )使得方程 ( x equiv a(text{mod} p) ) 有解，则称( a )是模奇素数( p )的二次剩余；若无解，则称为二次非剩余。例如：

模( 5 )时，( 1 equiv 1(text{mod} 5) )，( 2 equiv 4(text{mod} 5) )，因此( 1 )和( 4 )是模( 5 )的二次剩余。

欧拉判别条件

判断( a )是否为模( p )的二次剩余，可用欧拉准则： $$ a^{frac{p-1}{2}} equiv 1(text{mod} p) quad text{（是二次剩余）} $$ 或 $$ a^{frac{p-1}{2}} equiv -1(text{mod} p) quad text{（是非剩余）} $$

应用场景

二次剩余在密码学（如Rabin加密）、随机数生成等领域有重要用途，尤其在涉及模运算的算法设计中。

与普通余数的区别

普通余数指除法运算中的剩余值（如( 8 div 3 )余( 2 )），而二次余数强调平方后的同余关系是否可解。两者属于不同维度的数学概念。

如需更完整的数论推导，可参考权威资料。