對偶約束英文解釋翻譯、對偶約束的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual constraint

分詞翻譯：

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

約束的英語翻譯：

engage oneself to; restrict; bind; hold in; restrain; tie; tutor; wrap
【計】 constraint
【醫】 bridle; restraint
【經】 restraint; restrict

專業解析

在數學優化領域，"對偶約束"（Dual Constraint）指在對偶問題中，由原問題（Primal Problem）的變量或結構衍生出的限制條件。其核心含義是通過拉格朗日對偶性，将原問題的約束轉化為對偶問題中的變量約束。以下是漢英對照詳解：

一、基礎定義

中文：對偶約束描述對偶問題中變量的取值範圍，由原問題的約束條件通過拉格朗日乘子映射形成。
英文：Dual constraints define the feasible region of dual variables, derived from the primal problem's constraints via Lagrangian multipliers.

二、數學表示

設原問題為：

$$ begin{align} min_{x} quad & f(x) text{s.t.} quad & g_i(x) leq 0,quad i=1,dots,m & h_j(x) = 0,quad j=1,dots,p end{align} $$ 其拉格朗日函數為：

$$ L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^p u_j h_j(x) $$ 對偶問題的約束即要求拉格朗日函數對原變量 $x$ 的下确界存在，且對偶變量滿足：

$$ lambda_i geq 0,quad i=1,dots,m $$ 此即對偶約束（Dual Constraints）。

三、實際應用

對偶約束在以下領域具關鍵作用：

經濟學：影子價格理論中，對偶變量 $lambda_i$ 表示資源約束的邊際價值。
機器學習：支持向量機（SVM）通過對偶問題将高維空間計算轉化為核函數優化。
工程優化：結構設計中，對偶約束驗證解的強對偶性與最優性間隙。

四、權威參考來源

斯坦福大學《凸優化》課程
Boyd, S. & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.

教材鍊接（第5章對偶性）

MIT開放式課程
Bertsekas, D. P. (1999). Nonlinear Programming. Athena Scientific.

課程講義（Lecture 8: Duality）

普林斯頓大學優化理論筆記
Wright, S. J. (1997). Primal-Dual Interior-Point Methods. SIAM.

學術文獻

五、漢英術語對照表

中文	英文
對偶約束	Dual Constraint
拉格朗日乘子	Lagrangian Multiplier
強對偶性	Strong Duality
原問題	Primal Problem
可行域	Feasible Region

網絡擴展解釋

“對偶約束”是一個跨學科術語，具體含義需結合不同領域分析：

1. 數學優化/運籌學中的對偶約束

在運籌學中，“對偶約束”指原線性規劃問題轉化為對偶問題時形成的約束條件。其核心特點包括：

定義：原問題的每個決策變量對應一個對偶約束，而原問題的每個約束條件對應一個對偶變量。
符號關系：若原問題約束為不等式（如“≥”），則對偶變量非負；若原問題約束為等式（如“=”），則對偶變量無符號限制。
示例：
原問題（對稱形式）： $$ begin{cases} minc^T x text{s.t.}Ax geq b,x geq 0 end{cases} $$ 對應的對偶問題約束為： $$ lambda^T A leq c^T,lambda geq 0 $$ 其中$lambda$為對偶變量。

2. 其他領域中的“對偶”與“約束”

修辭學中的“對偶”：指結構對稱、字數相等的修辭手法（如“青山橫北郭，白水繞東城”），但“約束”在此語境中無直接關聯。
“約束”的通用含義：指限制或管束條件，如數學中的變量取值範圍或物理系統的邊界條件。

“對偶約束”在數學優化中特指對偶問題的限制條件，需結合原問題分析；其他領域（如文學）的“對偶”與“約束”無直接關聯。如需進一步了解對偶理論的經濟解釋（如影子價格）或具體應用，可參考運籌學教材或相關文獻。