对偶约束英文解释翻译、对偶约束的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual constraint

分词翻译：

对偶的英语翻译：

【计】 antithetic
【医】 allelo-

约束的英语翻译：

engage oneself to; restrict; bind; hold in; restrain; tie; tutor; wrap
【计】 constraint
【医】 bridle; restraint
【经】 restraint; restrict

专业解析

在数学优化领域，"对偶约束"（Dual Constraint）指在对偶问题中，由原问题（Primal Problem）的变量或结构衍生出的限制条件。其核心含义是通过拉格朗日对偶性，将原问题的约束转化为对偶问题中的变量约束。以下是汉英对照详解：

一、基础定义

中文：对偶约束描述对偶问题中变量的取值范围，由原问题的约束条件通过拉格朗日乘子映射形成。
英文：Dual constraints define the feasible region of dual variables, derived from the primal problem's constraints via Lagrangian multipliers.

二、数学表示

设原问题为：

$$ begin{align} min_{x} quad & f(x) text{s.t.} quad & g_i(x) leq 0,quad i=1,dots,m & h_j(x) = 0,quad j=1,dots,p end{align} $$ 其拉格朗日函数为：

$$ L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^p u_j h_j(x) $$ 对偶问题的约束即要求拉格朗日函数对原变量 $x$ 的下确界存在，且对偶变量满足：

$$ lambda_i geq 0,quad i=1,dots,m $$ 此即对偶约束（Dual Constraints）。

三、实际应用

对偶约束在以下领域具关键作用：

经济学：影子价格理论中，对偶变量 $lambda_i$ 表示资源约束的边际价值。
机器学习：支持向量机（SVM）通过对偶问题将高维空间计算转化为核函数优化。
工程优化：结构设计中，对偶约束验证解的强对偶性与最优性间隙。

四、权威参考来源

斯坦福大学《凸优化》课程
Boyd, S. & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.

教材链接（第5章对偶性）

MIT开放式课程
Bertsekas, D. P. (1999). Nonlinear Programming. Athena Scientific.

课程讲义（Lecture 8: Duality）

普林斯顿大学优化理论笔记
Wright, S. J. (1997). Primal-Dual Interior-Point Methods. SIAM.

学术文献

五、汉英术语对照表

中文	英文
对偶约束	Dual Constraint
拉格朗日乘子	Lagrangian Multiplier
强对偶性	Strong Duality
原问题	Primal Problem
可行域	Feasible Region

网络扩展解释

“对偶约束”是一个跨学科术语，具体含义需结合不同领域分析：

1. 数学优化/运筹学中的对偶约束

在运筹学中，“对偶约束”指原线性规划问题转化为对偶问题时形成的约束条件。其核心特点包括：

定义：原问题的每个决策变量对应一个对偶约束，而原问题的每个约束条件对应一个对偶变量。
符号关系：若原问题约束为不等式（如“≥”），则对偶变量非负；若原问题约束为等式（如“=”），则对偶变量无符号限制。
示例：
原问题（对称形式）： $$ begin{cases} minc^T x text{s.t.}Ax geq b,x geq 0 end{cases} $$ 对应的对偶问题约束为： $$ lambda^T A leq c^T,lambda geq 0 $$ 其中$lambda$为对偶变量。

2. 其他领域中的“对偶”与“约束”

修辞学中的“对偶”：指结构对称、字数相等的修辞手法（如“青山横北郭，白水绕东城”），但“约束”在此语境中无直接关联。
“约束”的通用含义：指限制或管束条件，如数学中的变量取值范围或物理系统的边界条件。

“对偶约束”在数学优化中特指对偶问题的限制条件，需结合原问题分析；其他领域（如文学）的“对偶”与“约束”无直接关联。如需进一步了解对偶理论的经济解释（如影子价格）或具体应用，可参考运筹学教材或相关文献。