对偶定理英文解释翻译、对偶定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual theorem; duality theorem

分词翻译：

对的英语翻译：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【计】 P
【化】 dyad
【医】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【经】 vs

偶的英语翻译：

by chance; even; idol; image; mate; spouse
【医】 pair

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

对偶定理（Duality Theorem）是数学与逻辑学中的核心概念，指在特定系统中存在相互对称的命题或结构，其真值或性质可通过形式变换相互推导。以下从汉英词典视角结合学科背景展开解释：

1.基础定义与汉英对照

在汉语中“对偶”对应英语“duality”，指成对事物间的对称关系；“定理”译为“theorem”，即经严格证明的数学命题。对偶定理（Duality Theorem）描述两个看似不同的数学陈述或系统间存在一一对应性，例如布尔代数中的对偶原理：若将逻辑表达式中的“与（AND）”替换为“或（OR）”，并交换“0”与“1”，原命题仍成立。

2.数学领域的典型表现

在线性规划中，对偶定理表明原问题（Primal Problem）与其对偶问题（Dual Problem）的目标函数最优值相等，这一结论由John von Neumann于1947年提出，现收录于多部运筹学教材如《Linear Programming and Extensions》。其公式可表示为： $$ begin{aligned} text{原问题：} & quad max mathbf{c}^Tmathbf{x} text{对偶问题：} & quad min mathbf{b}^Tmathbf{y} end{aligned} $$

3.逻辑学与计算机科学应用

在数字电路设计中，对偶定理简化了逻辑门电路的优化过程。例如，德摩根定律（De Morgan's Laws）作为对偶性的特例，证明$ eg (A land B) equiv eg A lor eg B$，该定律被广泛引用于《计算机程序设计艺术》（Donald Knuth著）等权威著作。

4.跨学科意义与参考文献

对偶定理在拓扑学（庞加莱对偶）、物理学（电磁场对偶性）等领域均有延伸应用。经典参考文献包括：

《数学原理》（Principia Mathematica）对逻辑对偶的形式化证明；
《Convex Optimization》（Boyd与Vandenberghe著）中凸优化对偶性的现代阐释。

网络扩展解释

对偶定理是数学、逻辑学和计算机科学中的重要概念，其核心思想是通过对称变换保持系统性质的等价性。以下是不同领域的解释：

1.布尔代数与逻辑电路

在布尔代数中，对偶定理指出：若将逻辑表达式中的运算符（AND ↔ OR）互换，同时将常量（1 ↔ 0）互换，所得的新表达式（对偶式）与原表达式逻辑等价。例如：

原式：( A + (B cdot C) = (A + B) cdot (A + C) )
对偶式：( A cdot (B + C) = (A cdot B) + (A cdot C) )

这一性质在电路设计中用于简化逻辑门结构，例如将AND门与OR门互换设计等效电路。

2.线性规划中的对偶性

在线性规划中，对偶定理表明：原始优化问题与其对偶问题的最优解目标函数值相等。例如：

原始问题：最大化利润 ( max c^T x )，约束为 ( Ax leq b )
对偶问题：最小化成本 ( min b^T y )，约束为 ( A^T y geq c )

通过求解对偶问题，可快速获得原始问题的资源影子价格或可行性边界。

3.几何与拓扑学

在射影几何中，对偶定理体现为点与直线的角色互换。例如，平面上“两点确定一条直线”的对偶命题是“两直线交于一点”。这种对称性简化了定理的证明过程。

4.范畴论的一般化

对偶性在范畴论中升华为普遍原理：若某命题在范畴中成立，则其对偶命题（通过反转所有箭头方向）在其对偶范畴中也成立。例如单态射与满态射的对偶关系。

意义：对偶定理通过揭示系统的内在对称性，为问题解决提供了双重视角，常能减少计算复杂度或启发新的研究方向。