多項式插值法英文解釋翻譯、多項式插值法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 polynomial interpolation

分詞翻譯：

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

插值法的英語翻譯：

【電】 interpolation

專業解析

多項式插值法（Polynomial Interpolation）是一種通過已知離散數據點構造多項式函數的方法，其核心目标是找到一個通過所有給定點的最低次多項式。在數學上，給定一組互不相同的節點$(x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n)$，存在唯一一個次數不超過$n$的多項式$P(x)$，滿足$P(x_i) = y_i$對所有$i=0,1,ldots,n$成立。這一結論源于“多項式插值存在唯一性定理”，其證明依賴于線性代數中的範德蒙矩陣行列式非零性質。

常用的多項式插值方法包括拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）和牛頓插值法（Newton Interpolation）。拉格朗日法的基本形式為： $$ P(x) = sum_{i=0}^{n} yi prod{substack{j=0j eq i}}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$ 其優勢在于形式對稱，但計算複雜度較高。牛頓插值法則通過遞推構造差商表，表達式為： $$ P(x) = f[x_0] + fx_0,x_1 + cdots + fx_0,ldots,x_ncdots(x-x_{n-1}) $$ 這種方法在新增數據點時無需重新計算所有系數。

在工程領域，多項式插值被廣泛應用于信號重構、傳感器标定和運動軌迹規劃。例如，在航空航天領域，飛行器姿态控制系統的傳感器數據常通過三次樣條插值實現平滑處理。計算機圖形學中也利用貝塞爾曲線（一種特殊的多項式插值）進行曲面建模。

該方法的主要局限性體現在高次插值的龍格現象（Runge's Phenomenon），即當節點數增加時，插值多項式可能在區間端點附近出現劇烈振蕩。因此實際應用中常采用分段低次插值或樣條插值代替全局高次插值。

來源：

《數值分析》（Richard L. Burden等著）第五章
MathWorld多項式插值詞條
《工程數值方法》（Steven C. Chapra著）第18章

網絡擴展解釋

多項式插值法是一種通過構造多項式函數來精确拟合給定數據點的數學方法。其核心思想是：對于一組已知的離散數據點 ((x_0,y_0), (x_1,y_1), dots, (x_n,y_n))，找到一個次數不超過 (n) 的多項式 (P(x))，使得 (P(x_i) = y_i) 對所有 (i=0,1,dots,n) 成立。

核心特性

存在唯一性
當所有 (xi) 互不相同時，存在唯一的 (n) 次多項式滿足插值條件。這由範德蒙矩陣行列式非零保證，其行列式為： $$ prod{0 leq i < j leq n} (x_j - x_i) $$
構造方法
- 拉格朗日插值：通過基函數組合 (P(x) = sum_{i=0}^n y_i cdot L_i(x))，其中 (Li(x) = prod{j eq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j})
- 牛頓插值：使用差商遞推公式 (P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + dots + a_n(x-x0)cdots(x-x{n-1}))

應用場景

數據缺失填補（如氣象觀測點間的溫度估算）
圖像處理中的像素插值
工程中的傳感器數據平滑

局限性

龍格現象：高次多項式在區間端點附近可能出現劇烈震蕩（例如用10次多項式插值等距11個點）
計算複雜度：當數據點數量極大時，直接求解系數矩陣的計算成本較高

改進方法

實際應用中常采用分段低次插值（如三次樣條插值）或引入切比雪夫節點分布來緩解高次插值的不穩定性。