多项式插值法英文解释翻译、多项式插值法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 polynomial interpolation

分词翻译：

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

插值法的英语翻译：

【电】 interpolation

专业解析

多项式插值法（Polynomial Interpolation）是一种通过已知离散数据点构造多项式函数的方法，其核心目标是找到一个通过所有给定点的最低次多项式。在数学上，给定一组互不相同的节点$(x_0, y_0), (x_1, y_1), ldots, (x_n, y_n)$，存在唯一一个次数不超过$n$的多项式$P(x)$，满足$P(x_i) = y_i$对所有$i=0,1,ldots,n$成立。这一结论源于“多项式插值存在唯一性定理”，其证明依赖于线性代数中的范德蒙矩阵行列式非零性质。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）和牛顿插值法（Newton Interpolation）。拉格朗日法的基本形式为： $$ P(x) = sum_{i=0}^{n} yi prod{substack{j=0j eq i}}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$ 其优势在于形式对称，但计算复杂度较高。牛顿插值法则通过递推构造差商表，表达式为： $$ P(x) = f[x_0] + fx_0,x_1 + cdots + fx_0,ldots,x_ncdots(x-x_{n-1}) $$ 这种方法在新增数据点时无需重新计算所有系数。

在工程领域，多项式插值被广泛应用于信号重构、传感器标定和运动轨迹规划。例如，在航空航天领域，飞行器姿态控制系统的传感器数据常通过三次样条插值实现平滑处理。计算机图形学中也利用贝塞尔曲线（一种特殊的多项式插值）进行曲面建模。

该方法的主要局限性体现在高次插值的龙格现象（Runge's Phenomenon），即当节点数增加时，插值多项式可能在区间端点附近出现剧烈振荡。因此实际应用中常采用分段低次插值或样条插值代替全局高次插值。

来源：

《数值分析》（Richard L. Burden等著）第五章
MathWorld多项式插值词条
《工程数值方法》（Steven C. Chapra著）第18章

网络扩展解释

多项式插值法是一种通过构造多项式函数来精确拟合给定数据点的数学方法。其核心思想是：对于一组已知的离散数据点 ((x_0,y_0), (x_1,y_1), dots, (x_n,y_n))，找到一个次数不超过 (n) 的多项式 (P(x))，使得 (P(x_i) = y_i) 对所有 (i=0,1,dots,n) 成立。

核心特性

存在唯一性
当所有 (xi) 互不相同时，存在唯一的 (n) 次多项式满足插值条件。这由范德蒙矩阵行列式非零保证，其行列式为： $$ prod{0 leq i < j leq n} (x_j - x_i) $$
构造方法
- 拉格朗日插值：通过基函数组合 (P(x) = sum_{i=0}^n y_i cdot L_i(x))，其中 (Li(x) = prod{j eq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j})
- 牛顿插值：使用差商递推公式 (P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + dots + a_n(x-x0)cdots(x-x{n-1}))

应用场景

数据缺失填补（如气象观测点间的温度估算）
图像处理中的像素插值
工程中的传感器数据平滑

局限性

龙格现象：高次多项式在区间端点附近可能出现剧烈震荡（例如用10次多项式插值等距11个点）
计算复杂度：当数据点数量极大时，直接求解系数矩阵的计算成本较高

改进方法

实际应用中常采用分段低次插值（如三次样条插值）或引入切比雪夫节点分布来缓解高次插值的不稳定性。