幂級數英文解釋翻譯、幂級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 power series; series of powers
【化】 power series

分詞翻譯：

幂的英語翻譯：

【計】 power set

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

幂級數是數學分析中一類形式為無窮級數的函數展開工具，其标準表達式為： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n $$ 其中，$a_n$ 為系數，$c$ 是級數的中心點，$x$ 為變量。該表達式在英語中稱為power series。

1. 結構分析

幂級數由無限個單項式構成，每一項包含系數 $a_n$ 和變量 $(x - c)$ 的 $n$ 次幂。例如：

當 $c=0$ 時，級數簡化為 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，稱為麥克勞林級數（Maclaurin series）。
系數 $a_n$ 決定級數的形狀和性質，如 $a_n = frac{1}{n!}$ 時，級數可展開為指數函數 $e^x$。

2. 收斂性

幂級數的收斂範圍由收斂半徑（radius of convergence）定義。例如：

幾何級數 $sum_{n=0}^{infty} x^n$ 的收斂半徑為 $1$，在 $|x|<1$ 時絕對收斂。
收斂區間可通過根值法或比值法計算，如 $lim{n to infty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right|$。

3. 應用場景

幂級數在工程和物理中廣泛應用，例如：

函數近似：将複雜函數（如三角函數、對數函數）展開為多項式形式以簡化計算。
微分方程求解：通過幂級數法求解非線性微分方程的解析解。
信號處理：傅裡葉級數的理論基礎與幂級數密切相關。

參考資料

網絡擴展解釋

幂級數是數學分析中的一個核心概念，其一般形式為：

$$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1 (x - c) + a_2 (x - c) + cdots $$

其中：

(a_n) 是系數，與 (n) 相關
(c) 是級數的中心點（如 (c=0) 時為麥克勞林級數）
(x) 是變量

核心特性

收斂性：
- 存在收斂半徑 (R)，由根值法或比值法計算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|an|}} quad text{或} quad R = lim{n to infty} left| frac{an}{a{n+1}} right| $$
- 收斂域為區間 ((c-R, c+R))，端點需單獨判斷。
運算性質：
- 逐項求導/積分：在收斂域内，幂級數可逐項求導或積分，結果仍為幂級數且收斂半徑不變。
- 和函數性質：在收斂區間内，和函數連續、可導且可積。

典型應用

函數展開：如 (e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!})（(-infty < x < infty)）
微分方程求解：通過假設解為幂級數形式，确定系數。
近似計算：用有限項多項式逼近複雜函數（如 (sin x approx x - frac{x}{6})）。

示例說明

以級數 (sum_{n=0}^{infty} x^n) 為例：

收斂半徑 (R=1)
收斂域為 (-1 < x < 1)
和函數為 (frac{1}{1-x})（僅在此區間内成立）

幂級數将多項式推廣到無限項，成為連接離散與連續、局部與全局的重要工具，廣泛應用于物理、工程和計算機科學中。