幂级数英文解释翻译、幂级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 power series; series of powers
【化】 power series

分词翻译：

幂的英语翻译：

【计】 power set

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

专业解析

幂级数是数学分析中一类形式为无穷级数的函数展开工具，其标准表达式为： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n $$ 其中，$a_n$ 为系数，$c$ 是级数的中心点，$x$ 为变量。该表达式在英语中称为power series。

1. 结构分析

幂级数由无限个单项式构成，每一项包含系数 $a_n$ 和变量 $(x - c)$ 的 $n$ 次幂。例如：

当 $c=0$ 时，级数简化为 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，称为麦克劳林级数（Maclaurin series）。
系数 $a_n$ 决定级数的形状和性质，如 $a_n = frac{1}{n!}$ 时，级数可展开为指数函数 $e^x$。

2. 收敛性

幂级数的收敛范围由收敛半径（radius of convergence）定义。例如：

几何级数 $sum_{n=0}^{infty} x^n$ 的收敛半径为 $1$，在 $|x|<1$ 时绝对收敛。
收敛区间可通过根值法或比值法计算，如 $lim{n to infty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right|$。

3. 应用场景

幂级数在工程和物理中广泛应用，例如：

函数近似：将复杂函数（如三角函数、对数函数）展开为多项式形式以简化计算。
微分方程求解：通过幂级数法求解非线性微分方程的解析解。
信号处理：傅里叶级数的理论基础与幂级数密切相关。

参考资料

网络扩展解释

幂级数是数学分析中的一个核心概念，其一般形式为：

$$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1 (x - c) + a_2 (x - c) + cdots $$

其中：

(a_n) 是系数，与 (n) 相关
(c) 是级数的中心点（如 (c=0) 时为麦克劳林级数）
(x) 是变量

核心特性

收敛性：
- 存在收敛半径 (R)，由根值法或比值法计算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|an|}} quad text{或} quad R = lim{n to infty} left| frac{an}{a{n+1}} right| $$
- 收敛域为区间 ((c-R, c+R))，端点需单独判断。
运算性质：
- 逐项求导/积分：在收敛域内，幂级数可逐项求导或积分，结果仍为幂级数且收敛半径不变。
- 和函数性质：在收敛区间内，和函数连续、可导且可积。

典型应用

函数展开：如 (e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!})（(-infty < x < infty)）
微分方程求解：通过假设解为幂级数形式，确定系数。
近似计算：用有限项多项式逼近复杂函数（如 (sin x approx x - frac{x}{6})）。

示例说明

以级数 (sum_{n=0}^{infty} x^n) 为例：

收敛半径 (R=1)
收敛域为 (-1 < x < 1)
和函数为 (frac{1}{1-x})（仅在此区间内成立）

幂级数将多项式推广到无限项，成为连接离散与连续、局部与全局的重要工具，广泛应用于物理、工程和计算机科学中。