幂積分英文解釋翻譯、幂積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 exponential integral

分詞翻譯：

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

幂積分（Power Integral）在數學分析中指的是一類形式為積分變量自乘某次幂的積分。其标準形式為：

$$ int x^pdx $$ 其中 ( p ) 是一個實數常數（幂指數），( x ) 是積分變量。

詳細解釋

基本形式與結果：
- 當幂指數 ( p eq -1 ) 時，幂積分的解由幂函數的積分公式給出： $$ int x^pdx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C quad (p eq -1) $$ 這裡 ( C ) 是積分常數。該公式是微積分基本定理的直接應用，通過求導幂函數的逆運算得到。來源：《數學分析》（華東師範大學數學系編）或任何标準微積分教材。
- 當幂指數 ( p = -1 ) 時，被積函數變為 ( frac{1}{x} )，其積分結果是自然對數函數： $$ int frac{1}{x}dx = ln |x| + C $$ 這是一個特例，因為幂函數積分公式在 ( p = -1 ) 時分母為零，不適用。來源：同基本微積分教材。
收斂性（針對廣義積分）：當考慮積分區間包含無窮大（如 ( int_a^infty x^pdx )）或被積函數在有限點無界（如 ( int_0^b x^pdx )）的廣義積分時，幂積分的收斂性取決于幂指數 ( p )：
- 無窮限積分 ( int_1^infty x^pdx )：當且僅當 ( p < -1 ) 時收斂（即結果有限）。若 ( p geq -1 )，積分發散到無窮大。來源：《實變函數與泛函分析》（夏道行等）或《高等數學》中廣義積分章節。
- 瑕積分 ( int_0 x^pdx )：當積分下限 0 是瑕點（即 ( p < 0 ) 時函數在 0 附近無界）時，當且僅當 ( p > -1 ) 時收斂。若 ( p leq -1 )，積分發散。來源：同上。
應用與重要性：
- 基礎性：幂積分是微積分中最基本、最重要的積分形式之一，是學習積分技巧（如換元積分、分部積分）的基礎構件。
- 物理與工程：幂函數廣泛用于建模各種物理現象（如牛頓引力定律 ( F propto r^{-2} )，體積計算等），其積分在求解位移、功、能量、概率分布等問題中至關重要。來源：應用數學、物理及工程類教材（如《托馬斯微積分》、《大學物理學》）。
- 數學分析：幂積分及其收斂性判别是研究函數可積性、級數收斂性（如 p-級數）以及更複雜積分（如伽馬函數）的理論基礎。來源：《數學分析教程》（常庚哲, 史濟懷）或《Principles of Mathematical Analysis》(Walter Rudin)。

漢英詞典視角

幂 (mì)：Power, Exponent。指乘方運算中的指數部分。
積分 (jīfēn)：Integral。指微積分中與微分（求導）相反的運算，用于求面積、體積、累積量等。
幂積分 (mì jīfēn)：Power Integral。特指被積函數為幂函數 ( x^p ) 的積分形式。

幂積分核心指形如 ( int x^pdx ) 的積分運算及其結果，其解在 ( p eq -1 ) 時為幂函數，在 ( p = -1 ) 時為對數函數。其廣義積分的收斂性由幂指數 ( p ) 嚴格決定。它是數學及其應用科學中的基礎工具。

網絡擴展解釋

“幂積分”通常指對幂函數進行積分運算，即對形如( f(x) = x^n )（( n )為實數）的函數求不定積分或定積分。以下是詳細解釋：

1.基本幂積分公式

對于大多數實數指數( n )，幂函數的積分公式為： $$ int x^n , dx = begin{cases} frac{x^{n+1}}{n+1} + C & (n eq -1) ln|x| + C & (n = -1) end{cases} $$

當( n eq -1 )時：積分結果為( frac{x^{n+1}}{n+1} )，加上積分常數( C )。
當( n = -1 )時：積分結果退化為自然對數函數( ln|x| )，這是因( x^{-1} )的原函數為對數函數。

2.定積分計算

若計算定積分，需代入上下限： $$ inta^b x^n , dx = left. frac{x^{n+1}}{n+1} right|{a}^{b} = frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} quad (n eq -1) $$ 對( n = -1 )，則為： $$ int_a^b frac{1}{x} , dx = lnleft|frac{b}{a}right| $$

3.應用示例

例1：計算( int x , dx ) $$ int x , dx = frac{x}{4} + C $$
例2：計算( int_1 frac{1}{x} , dx ) $$ int_1 x^{-2} , dx = left. frac{x^{-1}}{-1} right|_1 = -frac{1}{2} + 1 = frac{1}{2} $$

4.特殊情況與擴展

分數或負數指數：公式仍適用，如( int sqrt{x} , dx = int x^{1/2} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C )。
多元幂函數：對多變量函數如( x^n y^m )，需分變量積分或使用多重積分。

5.與其他積分方法的關系

幂積分常與其他積分技巧結合使用，例如：

分部積分：當被積函數為( x^n cdot ln x )時。
換元積分：處理形如( (ax + b)^n )的複合函數。

若需進一步探讨特殊函數的積分（如伽馬函數、貝塔函數等），可結合具體問題補充說明。