幂积分英文解释翻译、幂积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 exponential integral

分词翻译：

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

幂积分（Power Integral）在数学分析中指的是一类形式为积分变量自乘某次幂的积分。其标准形式为：

$$ int x^pdx $$ 其中 ( p ) 是一个实数常数（幂指数），( x ) 是积分变量。

详细解释

基本形式与结果：
- 当幂指数 ( p eq -1 ) 时，幂积分的解由幂函数的积分公式给出： $$ int x^pdx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C quad (p eq -1) $$ 这里 ( C ) 是积分常数。该公式是微积分基本定理的直接应用，通过求导幂函数的逆运算得到。来源：《数学分析》（华东师范大学数学系编）或任何标准微积分教材。
- 当幂指数 ( p = -1 ) 时，被积函数变为 ( frac{1}{x} )，其积分结果是自然对数函数： $$ int frac{1}{x}dx = ln |x| + C $$ 这是一个特例，因为幂函数积分公式在 ( p = -1 ) 时分母为零，不适用。来源：同基本微积分教材。
收敛性（针对广义积分）：当考虑积分区间包含无穷大（如 ( int_a^infty x^pdx )）或被积函数在有限点无界（如 ( int_0^b x^pdx )）的广义积分时，幂积分的收敛性取决于幂指数 ( p )：
- 无穷限积分 ( int_1^infty x^pdx )：当且仅当 ( p < -1 ) 时收敛（即结果有限）。若 ( p geq -1 )，积分发散到无穷大。来源：《实变函数与泛函分析》（夏道行等）或《高等数学》中广义积分章节。
- 瑕积分 ( int_0 x^pdx )：当积分下限 0 是瑕点（即 ( p < 0 ) 时函数在 0 附近无界）时，当且仅当 ( p > -1 ) 时收敛。若 ( p leq -1 )，积分发散。来源：同上。
应用与重要性：
- 基础性：幂积分是微积分中最基本、最重要的积分形式之一，是学习积分技巧（如换元积分、分部积分）的基础构件。
- 物理与工程：幂函数广泛用于建模各种物理现象（如牛顿引力定律 ( F propto r^{-2} )，体积计算等），其积分在求解位移、功、能量、概率分布等问题中至关重要。来源：应用数学、物理及工程类教材（如《托马斯微积分》、《大学物理学》）。
- 数学分析：幂积分及其收敛性判别是研究函数可积性、级数收敛性（如 p-级数）以及更复杂积分（如伽马函数）的理论基础。来源：《数学分析教程》（常庚哲, 史济怀）或《Principles of Mathematical Analysis》(Walter Rudin)。

汉英词典视角

幂 (mì)：Power, Exponent。指乘方运算中的指数部分。
积分 (jīfēn)：Integral。指微积分中与微分（求导）相反的运算，用于求面积、体积、累积量等。
幂积分 (mì jīfēn)：Power Integral。特指被积函数为幂函数 ( x^p ) 的积分形式。

幂积分核心指形如 ( int x^pdx ) 的积分运算及其结果，其解在 ( p eq -1 ) 时为幂函数，在 ( p = -1 ) 时为对数函数。其广义积分的收敛性由幂指数 ( p ) 严格决定。它是数学及其应用科学中的基础工具。

网络扩展解释

“幂积分”通常指对幂函数进行积分运算，即对形如( f(x) = x^n )（( n )为实数）的函数求不定积分或定积分。以下是详细解释：

1.基本幂积分公式

对于大多数实数指数( n )，幂函数的积分公式为： $$ int x^n , dx = begin{cases} frac{x^{n+1}}{n+1} + C & (n eq -1) ln|x| + C & (n = -1) end{cases} $$

当( n eq -1 )时：积分结果为( frac{x^{n+1}}{n+1} )，加上积分常数( C )。
当( n = -1 )时：积分结果退化为自然对数函数( ln|x| )，这是因( x^{-1} )的原函数为对数函数。

2.定积分计算

若计算定积分，需代入上下限： $$ inta^b x^n , dx = left. frac{x^{n+1}}{n+1} right|{a}^{b} = frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} quad (n eq -1) $$ 对( n = -1 )，则为： $$ int_a^b frac{1}{x} , dx = lnleft|frac{b}{a}right| $$

3.应用示例

例1：计算( int x , dx ) $$ int x , dx = frac{x}{4} + C $$
例2：计算( int_1 frac{1}{x} , dx ) $$ int_1 x^{-2} , dx = left. frac{x^{-1}}{-1} right|_1 = -frac{1}{2} + 1 = frac{1}{2} $$

4.特殊情况与扩展

分数或负数指数：公式仍适用，如( int sqrt{x} , dx = int x^{1/2} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C )。
多元幂函数：对多变量函数如( x^n y^m )，需分变量积分或使用多重积分。

5.与其他积分方法的关系

幂积分常与其他积分技巧结合使用，例如：

分部积分：当被积函数为( x^n cdot ln x )时。
换元积分：处理形如( (ax + b)^n )的复合函数。

若需进一步探讨特殊函数的积分（如伽马函数、贝塔函数等），可结合具体问题补充说明。