階乘函數英文解釋翻譯、階乘函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 factorial function

分詞翻譯：

階乘的英語翻譯：

factorial
【計】 factorial

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

階乘函數（factorial function）是數學中用于描述正整數連乘積的特殊函數，定義為所有小于等于該數的正整數之積。其數學表達式為： $$ n! = prod_{k=1}^n k quad (n in mathbb{N}^+) $$ 例如，$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$，且規定$0! = 1$以保持組合數學公式的普遍適用性。

從遞歸關系角度看，階乘函數滿足遞推公式： $$ n! = n times (n-1)! quad (n ge 1) $$ 這一特性使其在算法設計（如遞歸程式）和離散數學問題分析中具有重要價值。

在應用層面，階乘函數是排列組合的核心工具。例如，從$n$個元素中選取$k$個的排列數可表示為$P(n,k) = frac{n!}{(n-k)!}$。該函數還廣泛存在于概率論、統計學及物理學的玻色-愛因斯坦分布模型中。

Gamma函數是階乘在複數域的推廣，滿足$Gamma(n) = (n-1)!$（$n$為正整數），這一擴展由歐拉于18世紀提出，現已成為特殊函數理論的重要組成部分。

參考來源：

《離散數學及其應用》（Rosen, K.H., 2022修訂版）
《計算機算法導論》（Cormen, T.H. et al., 第4版）
美國數學學會（AMS）期刊《數學評論》
《特殊函數及其應用》（NIST數字文庫）

網絡擴展解釋

階乘函數是數學中的基本概念，用符號“$n!$”表示。其定義為所有小于或等于$n$的正整數的乘積，具體可表示為：

$$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 $$

關鍵點解釋：

基本定義
例如：
$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$，
$3! = 3 times 2 times 1 = 6$。
特殊值
- $0! = 1$：這是數學中的約定，用于保證組合公式等場景的通用性（如組合數$binom{n}{0}=1$）。
遞歸定義
階乘可通過自身遞歸表達：
$$ n! = begin{cases} 1 & text{當 } n=0 text{ 或 } n=1, n times (n-1)! & text{當 } n > 1. end{cases} $$
應用場景
- 排列組合：計算$n$個元素的不同排列數為$n!$。
- 概率論：如二項式系數$binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}$。
- 泰勒展開：如$e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}$。
增長特性
階乘函數增長極快，遠超指數函數。例如：
$10! = 3,628,800$，而$20!$已超過$2.4 times 10^{18}$。
實際計算大數階乘時，常使用斯特林公式近似：
$$ n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n $$

擴展概念

Gamma函數：将階乘推廣到複數域，滿足$Gamma(n) = (n-1)!$（$n$為正整數）。
非整數與負數：傳統階乘僅定義在非負整數，但通過Gamma函數可擴展至其他數（負數需排除負整數）。

若需具體應用案例或更深入的數學推導，可進一步說明！