阶乘函数英文解释翻译、阶乘函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 factorial function

分词翻译：

阶乘的英语翻译：

factorial
【计】 factorial

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

阶乘函数（factorial function）是数学中用于描述正整数连乘积的特殊函数，定义为所有小于等于该数的正整数之积。其数学表达式为： $$ n! = prod_{k=1}^n k quad (n in mathbb{N}^+) $$ 例如，$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$，且规定$0! = 1$以保持组合数学公式的普遍适用性。

从递归关系角度看，阶乘函数满足递推公式： $$ n! = n times (n-1)! quad (n ge 1) $$ 这一特性使其在算法设计（如递归程序）和离散数学问题分析中具有重要价值。

在应用层面，阶乘函数是排列组合的核心工具。例如，从$n$个元素中选取$k$个的排列数可表示为$P(n,k) = frac{n!}{(n-k)!}$。该函数还广泛存在于概率论、统计学及物理学的玻色-爱因斯坦分布模型中。

Gamma函数是阶乘在复数域的推广，满足$Gamma(n) = (n-1)!$（$n$为正整数），这一扩展由欧拉于18世纪提出，现已成为特殊函数理论的重要组成部分。

参考来源：

《离散数学及其应用》（Rosen, K.H., 2022修订版）
《计算机算法导论》（Cormen, T.H. et al., 第4版）
美国数学学会（AMS）期刊《数学评论》
《特殊函数及其应用》（NIST数字文库）

网络扩展解释

阶乘函数是数学中的基本概念，用符号“$n!$”表示。其定义为所有小于或等于$n$的正整数的乘积，具体可表示为：

$$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 $$

关键点解释：

基本定义
例如：
$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$，
$3! = 3 times 2 times 1 = 6$。
特殊值
- $0! = 1$：这是数学中的约定，用于保证组合公式等场景的通用性（如组合数$binom{n}{0}=1$）。
递归定义
阶乘可通过自身递归表达：
$$ n! = begin{cases} 1 & text{当 } n=0 text{ 或 } n=1, n times (n-1)! & text{当 } n > 1. end{cases} $$
应用场景
- 排列组合：计算$n$个元素的不同排列数为$n!$。
- 概率论：如二项式系数$binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}$。
- 泰勒展开：如$e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}$。
增长特性
阶乘函数增长极快，远超指数函数。例如：
$10! = 3,628,800$，而$20!$已超过$2.4 times 10^{18}$。
实际计算大数阶乘时，常使用斯特林公式近似：
$$ n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n $$

扩展概念

Gamma函数：将阶乘推广到复数域，满足$Gamma(n) = (n-1)!$（$n$为正整数）。
非整数与负数：传统阶乘仅定义在非负整数，但通过Gamma函数可扩展至其他数（负数需排除负整数）。

若需具体应用案例或更深入的数学推导，可进一步说明！