亥姆霍茲方程英文解釋翻譯、亥姆霍茲方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 Helmholtz equation

分詞翻譯：

姆的英語翻譯：

【醫】 mho

霍的英語翻譯：

quickly; suddenly

茲的英語翻譯：

at present; now; this

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

亥姆霍茲方程（Helmholtz Equation）是數學物理領域中的一類重要偏微分方程，其标準形式為： $$

abla psi + k psi = 0 $$ 其中，$ abla$為拉普拉斯算子，$k$為波數（wave number），$psi$為描述波動現象的标量場函數。該方程以德國物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）命名，主要用于描述時諧波動的穩态解。

核心概念解析

物理意義
亥姆霍茲方程由波動方程在時間變量上通過分離變量法導出，表征了電磁波、聲波等波動現象在特定頻率下的空間分布規律。例如，在電磁學中，該方程可描述微波波導中的電磁場分布。
數學性質
方程屬于本征值問題（Eigenvalue Problem），其解需要滿足特定邊界條件。當$k$為實數時，方程存在非平凡解的條件與介質中的諧振頻率直接相關，這一特性被廣泛應用于量子力學勢阱模型和光學諧振腔設計。
應用領域

電磁學：用于天線輻射場計算和光纖傳輸模式分析（參見MIT開放課程《電磁學進階》案例）
聲學：預測房間聲學駐波分布及噪聲控制（如聲學工程手冊中的推導）
量子力學：薛定谔方程的穩态解可轉化為亥姆霍茲方程形式

權威參考資料

數學百科全書MathWorld對亥姆霍茲方程的嚴格數學定義：https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquation.html
劍橋大學物理系教材《數學物理方法》第7章詳細讨論方程推導與邊界條件處理
《Journal of Acoustical Society of America》多篇論文引用該方程進行聲場建模

通過上述分析可見，亥姆霍茲方程是連接波動理論與工程實踐的核心工具，其跨學科特性使其在物理、工程及數學領域均具有不可替代的地位。

網絡擴展解釋

亥姆霍茲方程（Helmholtz equation）是數學物理中的一個重要偏微分方程，廣泛應用于波動現象、電磁學、聲學、量子力學等領域。其标準形式為：

abla psi + k psi = 0 $$

其中：

$ abla$ 是拉普拉斯算子（對空間坐标的二階導數），
$k$ 是實數或複數常數（稱為波數），
$psi$ 是未知函數（通常表示波場或勢函數）。

核心意義

波動方程的簡化形式
亥姆霍茲方程是波動方程 $ abla psi = frac{1}{v} frac{partial psi}{partial t}$ 在單色（單一頻率）條件下的頻域形式。假設解為 $psi(mathbf{r}, t) = psi(mathbf{r}) e^{-iomega t}$，代入波動方程即可導出亥姆霍茲方程，其中 $k = omega/v$（$omega$ 為角頻率，$v$ 為波速）。
分離變量的結果
在求解波動方程或薛定谔方程時，通過分離變量法将時間與空間變量分離，空間部分即滿足亥姆霍茲方程。

應用領域

電磁學
用于分析電磁波在自由空間或波導中的傳播，如天線輻射、微波工程等。
聲學
描述聲波在介質中的傳播，例如房間聲學建模或噪聲控制。
量子力學
定态薛定谔方程 $ abla psi + frac{2m}{hbar}(E - V)psi = 0$ 可視為亥姆霍茲方程的推廣形式。
地球物理學
地震波傳播的建模與分析。

解法與特性

分離變量法
在直角坐标系、柱坐标系或球坐标系中，通過分離變量法求解，例如球坐标系中解為球貝塞爾函數與球諧函數的組合。
格林函數法
利用格林函數處理點源問題，如自由空間格林函數 $G(mathbf{r}) = frac{e^{ikr}}{4pi r}$。
本征值問題
在有限區域内求解時，方程與邊界條件結合會導出離散的本征值（對應特定頻率或波數）。

與相關方程的關系

拉普拉斯方程：當 $k=0$ 時，亥姆霍茲方程退化為拉普拉斯方程 $ abla psi = 0$。
波動方程：亥姆霍茲方程是波動方程的頻域穩态形式。
薛定谔方程：定态薛定谔方程是亥姆霍茲方程的變體，包含勢能項。

示例

在電磁學中，真空中電場 $mathbf{E}$ 滿足亥姆霍茲方程： $$

abla mathbf{E} + k_0 mathbf{E} = 0 quad (k_0 = omega sqrt{mu_0 epsilon_0}) $$ 通過求解此方程可得到電磁波的傳播模式。

如需進一步了解具體解法或應用案例，可參考數學物理方法教材或相關領域文獻。