亥姆霍兹方程英文解释翻译、亥姆霍兹方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 Helmholtz equation

分词翻译：

姆的英语翻译：

【医】 mho

霍的英语翻译：

quickly; suddenly

兹的英语翻译：

at present; now; this

方程的英语翻译：

equation

专业解析

亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation）是数学物理领域中的一类重要偏微分方程，其标准形式为： $$

abla psi + k psi = 0 $$ 其中，$ abla$为拉普拉斯算子，$k$为波数（wave number），$psi$为描述波动现象的标量场函数。该方程以德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）命名，主要用于描述时谐波动的稳态解。

核心概念解析

物理意义
亥姆霍兹方程由波动方程在时间变量上通过分离变量法导出，表征了电磁波、声波等波动现象在特定频率下的空间分布规律。例如，在电磁学中，该方程可描述微波波导中的电磁场分布。
数学性质
方程属于本征值问题（Eigenvalue Problem），其解需要满足特定边界条件。当$k$为实数时，方程存在非平凡解的条件与介质中的谐振频率直接相关，这一特性被广泛应用于量子力学势阱模型和光学谐振腔设计。
应用领域

电磁学：用于天线辐射场计算和光纤传输模式分析（参见MIT开放课程《电磁学进阶》案例）
声学：预测房间声学驻波分布及噪声控制（如声学工程手册中的推导）
量子力学：薛定谔方程的稳态解可转化为亥姆霍兹方程形式

权威参考资料

数学百科全书MathWorld对亥姆霍兹方程的严格数学定义：https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquation.html
剑桥大学物理系教材《数学物理方法》第7章详细讨论方程推导与边界条件处理
《Journal of Acoustical Society of America》多篇论文引用该方程进行声场建模

通过上述分析可见，亥姆霍兹方程是连接波动理论与工程实践的核心工具，其跨学科特性使其在物理、工程及数学领域均具有不可替代的地位。

网络扩展解释

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于波动现象、电磁学、声学、量子力学等领域。其标准形式为：

abla psi + k psi = 0 $$

其中：

$ abla$ 是拉普拉斯算子（对空间坐标的二阶导数），
$k$ 是实数或复数常数（称为波数），
$psi$ 是未知函数（通常表示波场或势函数）。

核心意义

波动方程的简化形式
亥姆霍兹方程是波动方程 $ abla psi = frac{1}{v} frac{partial psi}{partial t}$ 在单色（单一频率）条件下的频域形式。假设解为 $psi(mathbf{r}, t) = psi(mathbf{r}) e^{-iomega t}$，代入波动方程即可导出亥姆霍兹方程，其中 $k = omega/v$（$omega$ 为角频率，$v$ 为波速）。
分离变量的结果
在求解波动方程或薛定谔方程时，通过分离变量法将时间与空间变量分离，空间部分即满足亥姆霍兹方程。

应用领域

电磁学
用于分析电磁波在自由空间或波导中的传播，如天线辐射、微波工程等。
声学
描述声波在介质中的传播，例如房间声学建模或噪声控制。
量子力学
定态薛定谔方程 $ abla psi + frac{2m}{hbar}(E - V)psi = 0$ 可视为亥姆霍兹方程的推广形式。
地球物理学
地震波传播的建模与分析。

解法与特性

分离变量法
在直角坐标系、柱坐标系或球坐标系中，通过分离变量法求解，例如球坐标系中解为球贝塞尔函数与球谐函数的组合。
格林函数法
利用格林函数处理点源问题，如自由空间格林函数 $G(mathbf{r}) = frac{e^{ikr}}{4pi r}$。
本征值问题
在有限区域内求解时，方程与边界条件结合会导出离散的本征值（对应特定频率或波数）。

与相关方程的关系

拉普拉斯方程：当 $k=0$ 时，亥姆霍兹方程退化为拉普拉斯方程 $ abla psi = 0$。
波动方程：亥姆霍兹方程是波动方程的频域稳态形式。
薛定谔方程：定态薛定谔方程是亥姆霍兹方程的变体，包含势能项。

示例

在电磁学中，真空中电场 $mathbf{E}$ 满足亥姆霍兹方程： $$

abla mathbf{E} + k_0 mathbf{E} = 0 quad (k_0 = omega sqrt{mu_0 epsilon_0}) $$ 通过求解此方程可得到电磁波的传播模式。

如需进一步了解具体解法或应用案例，可参考数学物理方法教材或相关领域文献。