規範正交的英文解釋翻譯、規範正交的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 orthonormal

norm; standard
【計】 convertion; specification
【醫】 Cannon; canon
【經】 norm

【計】 quadrature
【醫】 orthogonality

在數學和工程學領域中，"規範正交的"（英文：orthonormal）是一個描述向量集合特殊性質的術語。該概念由兩部分構成：正交性（orthogonal）與單位規範性（normalization），其核心定義如下：

正交性
向量集合中的任意兩個不同向量均滿足内積為零，即對于向量空間中的向量$mathbf{u}$和$mathbf{v}$，若$mathbf{u} eq mathbf{v}$，則$langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = 0$。這一性質消除了向量間的線性相關性，确保集合中向量彼此獨立。
單位規範性
每個向量的範數（即長度）均為1，數學表達為$|mathbf{u}| = sqrt{langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle} = 1$。單位化操作使向量在幾何上更便于計算，例如投影和坐标變換。

應用場景

規範正交基在信號處理（如傅裡葉變換）、量子力學（态向量表示）及計算機圖形學（坐标變換）中具有基礎作用。例如，Gram-Schmidt正交化算法可将線性無關向量組轉化為規範正交基。

參考來源

規範正交是數學中描述向量或函數集合特性的重要概念，結合了“正交性”和“單位範數”兩個條件。以下是詳細解釋：

正交性
在内積空間中，兩個向量正交的條件是它們的内積為零，即： $$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = 0 $$ 幾何上表示垂直關系。
規範化
規範正交還要求每個向量的範數（長度）為1，即： $$ |mathbf{u}| = sqrt{mathbf{u} cdot mathbf{u}} = 1 $$

一個向量集合若滿足以下兩點，則稱為規範正交系：

例如，三維空間中的标準基向量： $$ mathbf{e}_1 = (1,0,0), quad mathbf{e}_2 = (0,1,0), quad mathbf{e}_3 = (0,0,1) $$ 即滿足規範正交條件。

函數空間
在函數内積空間中，兩個函數正交的條件是它們的乘積積分為零： $$ int_a^b f(x)g(x)dx = 0 $$ 若進一步滿足$int_a^b f(x) dx = 1$，則構成規範正交函數系，如傅裡葉基函數。
希爾伯特空間
規範正交基是無限維空間中的推廣，例如量子力學中的波函數常采用規範正交基表示。

總結來看，規範正交通過正交性保證獨立性，通過單位化統一尺度，是線性代數、函數分析等領域的基礎工具。