规范正交的英文解释翻译、规范正交的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 orthonormal

norm; standard
【计】 convertion; specification
【医】 Cannon; canon
【经】 norm

【计】 quadrature
【医】 orthogonality

在数学和工程学领域中，"规范正交的"（英文：orthonormal）是一个描述向量集合特殊性质的术语。该概念由两部分构成：正交性（orthogonal）与单位规范性（normalization），其核心定义如下：

正交性
向量集合中的任意两个不同向量均满足内积为零，即对于向量空间中的向量$mathbf{u}$和$mathbf{v}$，若$mathbf{u} eq mathbf{v}$，则$langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = 0$。这一性质消除了向量间的线性相关性，确保集合中向量彼此独立。
单位规范性
每个向量的范数（即长度）均为1，数学表达为$|mathbf{u}| = sqrt{langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle} = 1$。单位化操作使向量在几何上更便于计算，例如投影和坐标变换。

应用场景

规范正交基在信号处理（如傅里叶变换）、量子力学（态向量表示）及计算机图形学（坐标变换）中具有基础作用。例如，Gram-Schmidt正交化算法可将线性无关向量组转化为规范正交基。

参考来源

规范正交是数学中描述向量或函数集合特性的重要概念，结合了“正交性”和“单位范数”两个条件。以下是详细解释：

正交性
在内积空间中，两个向量正交的条件是它们的内积为零，即： $$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = 0 $$ 几何上表示垂直关系。
规范化
规范正交还要求每个向量的范数（长度）为1，即： $$ |mathbf{u}| = sqrt{mathbf{u} cdot mathbf{u}} = 1 $$

一个向量集合若满足以下两点，则称为规范正交系：

例如，三维空间中的标准基向量： $$ mathbf{e}_1 = (1,0,0), quad mathbf{e}_2 = (0,1,0), quad mathbf{e}_3 = (0,0,1) $$ 即满足规范正交条件。

函数空间
在函数内积空间中，两个函数正交的条件是它们的乘积积分为零： $$ int_a^b f(x)g(x)dx = 0 $$ 若进一步满足$int_a^b f(x) dx = 1$，则构成规范正交函数系，如傅里叶基函数。
希尔伯特空间
规范正交基是无限维空间中的推广，例如量子力学中的波函数常采用规范正交基表示。

总结来看，规范正交通过正交性保证独立性，通过单位化统一尺度，是线性代数、函数分析等领域的基础工具。