广义拉盖尔函数英文解释翻译、广义拉盖尔函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generalized Laguerre function

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

拉盖尔函数的英语翻译：

【计】 laguerre function

专业解析

广义拉盖尔函数（Generalized Laguerre Polynomials）是数学与物理学中一类重要的正交多项式，常用于解决含径向对称性的微分方程问题。其定义为参数化的多项式序列，可表示为： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha} e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} left( e^{-x} x^{n+alpha} right) $$ 其中，$alpha$ 为实数参数，$n$ 为非负整数，对应多项式的次数。

核心特性与意义

正交性
在区间 $[0, infty)$ 上，广义拉盖尔函数满足带权正交性： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 这一性质使其在量子力学和电磁场模式展开中具有关键作用。
微分方程关联性
广义拉盖尔函数是拉盖尔微分方程的解： $$ x y'' + (alpha +1 -x) y' + n y = 0 $$ 该方程在氢原子径向波函数模型中直接出现。
应用领域
- 量子力学：氢原子薛定谔方程的径向部分解由广义拉盖尔函数构成，例如 $2p$ 轨道波函数包含 $L_1^{(1)}(r)$。
- 电磁学：用于分析圆柱对称系统中的电磁波模式。
- 概率论：在伽马分布和泊松过程的相关分析中作为基函数。

汉英术语对照

中文术语	英文术语
广义拉盖尔函数	Generalized Laguerre Polynomials
正交性	Orthogonality
权函数	Weight Function
递推关系	Recurrence Relation

权威参考来源

《数学物理方法》（Arfken & Weber 第7版）第18章对广义拉盖尔函数的性质进行了系统推导Springer。
美国国家标准技术研究院（NIST）数学库中关于正交多项式的定义与公式NIST DLMF。
量子力学教材《Principles of Quantum Mechanics》第12章详细讨论了其在氢原子模型中的应用Cambridge University Press。

网络扩展解释

广义拉盖尔函数（Generalized Laguerre Function）是数学中一类重要的特殊函数，属于正交多项式范畴，其定义和应用如下：

一、基本定义

广义拉盖尔函数是拉盖尔多项式的扩展形式，通常表示为 ( L_n^{(alpha)}(x) )，其中：

( n ) 为非负整数（多项式阶数）
( alpha ) 为实数参数（决定函数的广义性质）
( x ) 为自变量（定义域一般为非负实数）

其标准表达式可通过递推关系或微分方程定义。例如，在Matlab中计算时，可能采用递推公式实现高效运算（如提到的 ( text{mlaguerre}(n,p,x) ) 函数）。

二、数学性质

正交性
在区间 ( [0, +infty) ) 上，关于权函数 ( x^alpha e^{-x} ) 正交，即满足： $$ int_0^infty L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) x^alpha e^{-x} dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 ( Gamma ) 为伽马函数，( delta_{mn} ) 为克罗内克函数。
微分方程
满足广义拉盖尔方程： $$ x frac{d y}{dx} + (alpha +1 -x) frac{dy}{dx} + n y = 0 $$

三、主要应用领域

量子力学
用于描述氢原子波函数的径向部分（如提到的氢原子模型）。
统计学
在Gamma分布密度函数的正交展开中发挥作用。
光学与工程
例如仿真激光模式（如提到的LG光束分析）。

四、与普通拉盖尔函数的区别

普通拉盖尔函数是广义拉盖尔函数在 ( alpha=0 ) 时的特例，即 ( L_n^{(0)}(x) )。广义形式通过引入参数 ( alpha ) 扩展了应用范围，例如在非整数阶问题中的建模。

如需进一步了解具体计算实现，可参考Matlab的广义拉盖尔多项式生成代码（如提供的资源）。