廣義積分英文解釋翻譯、廣義積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 improper integral

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

廣義積分的定義與核心概念

廣義積分（Improper Integral）是定積分的擴展形式，用于處理兩類特殊情形：

積分區間無限（如積分上限或下限為無窮大）；
被積函數在積分區間内存在瑕點（如無界間斷點）。其本質是通過極限思想将定積分推廣至非常規區間或函數。

數學定義與分類

1.無窮區間型

第一類廣義積分：積分區間為無限區間。
- 示例：$inta^{+infty} f(x)dx = lim{b to +infty} int_a^b f(x)dx$
- 收斂條件：極限存在且有限；否則發散。

2.瑕積分型

第二類廣義積分：被積函數在區間某點無界（瑕點）。
- 示例：$inta^b f(x)dx$，若 $f(x)$ 在 $c in [a,b]$ 無界，則定義為：
  $$ lim{epsilon to 0^+} inta^{c-epsilon} f(x)dx + lim{delta to 0^+} int_{c+delta}^b f(x)dx $$
- 收斂需兩個極限均存在。

漢英術語對照

中文術語	英文術語
廣義積分	Improper Integral
收斂	Convergence
發散	Divergence
瑕點	Point of Discontinuity

應用場景

廣義積分在概率論（如概率密度函數積分）、物理學（如電磁場理論）及工程學中有廣泛應用。例如，正态分布的歸一化常數即通過無窮區間廣義積分求解。

權威參考來源

同濟大學《高等數學》：定義與收斂性判定标準（第7版，第七章）。
美國數學學會（AMS）數學術語庫：術語 "Improper Integral" 的規範解釋。
Wolfram MathWorld：廣義積分的分類及計算示例。

（注：因鍊接有效性要求，此處僅标注文獻來源，未提供具體鍊接。）

網絡擴展解釋

廣義積分（又稱反常積分）是定積分的擴展形式，用于處理以下兩種普通定積分無法直接計算的情況：

一、廣義積分的兩種類型

無窮區間的積分
當積分區間為無限時，例如積分上限或下限為無窮大。
- 定義：通過極限将無窮區間轉化為有限區間。
  - 積分從( a )到( +infty )：
    $$ int{a}^{+infty} f(x) dx = lim{t to +infty} int_{a}^{t} f(x) dx $$
  - 類似地，積分從( -infty )到( b )或( -infty )到( +infty )也可通過極限定義。
無界函數的積分（瑕積分）
當被積函數在積分區間某點附近無界（如趨向無窮大）。
- 定義：若( f(x) )在點( c )處無界（瑕點），則拆分為兩個極限：
  $$ int{a}^{b} f(x) dx = lim{t to c^-} int{a}^{t} f(x) dx + lim{s to c^+} int_{s}^{b} f(x) dx $$
- 若兩部分的極限均存在，則瑕積分收斂。

二、收斂與發散

收斂：若上述極限存在且為有限值，則稱廣義積分收斂，該值為積分結果。
發散：若極限不存在或為無窮大，則積分發散，無意義。

三、經典例子

無窮區間積分
- (int_{1}^{+infty} frac{1}{x} dx = 1)（收斂）
- (int_{1}^{+infty} frac{1}{x} dx)（發散）
瑕積分
- (int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx = 2)（收斂，瑕點在( x=0 )）
- (int_{0}^{1} frac{1}{x} dx)（發散）

四、注意事項

混合情況：若積分同時有無窮區間和瑕點，需分段處理，分别判斷收斂性。
判别方法：常用比較判别法、極限判别法等判斷積分是否收斂。

通過廣義積分，可以解決物理、工程等領域中涉及無限區間或無界函數的實際問題。