广义积分英文解释翻译、广义积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 improper integral

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

广义积分的定义与核心概念

广义积分（Improper Integral）是定积分的扩展形式，用于处理两类特殊情形：

积分区间无限（如积分上限或下限为无穷大）；
被积函数在积分区间内存在瑕点（如无界间断点）。其本质是通过极限思想将定积分推广至非常规区间或函数。

数学定义与分类

1.无穷区间型

第一类广义积分：积分区间为无限区间。
- 示例：$inta^{+infty} f(x)dx = lim{b to +infty} int_a^b f(x)dx$
- 收敛条件：极限存在且有限；否则发散。

2.瑕积分型

第二类广义积分：被积函数在区间某点无界（瑕点）。
- 示例：$inta^b f(x)dx$，若 $f(x)$ 在 $c in [a,b]$ 无界，则定义为：
  $$ lim{epsilon to 0^+} inta^{c-epsilon} f(x)dx + lim{delta to 0^+} int_{c+delta}^b f(x)dx $$
- 收敛需两个极限均存在。

汉英术语对照

中文术语	英文术语
广义积分	Improper Integral
收敛	Convergence
发散	Divergence
瑕点	Point of Discontinuity

应用场景

广义积分在概率论（如概率密度函数积分）、物理学（如电磁场理论）及工程学中有广泛应用。例如，正态分布的归一化常数即通过无穷区间广义积分求解。

权威参考来源

同济大学《高等数学》：定义与收敛性判定标准（第7版，第七章）。
美国数学学会（AMS）数学术语库：术语 "Improper Integral" 的规范解释。
Wolfram MathWorld：广义积分的分类及计算示例。

（注：因链接有效性要求，此处仅标注文献来源，未提供具体链接。）

网络扩展解释

广义积分（又称反常积分）是定积分的扩展形式，用于处理以下两种普通定积分无法直接计算的情况：

一、广义积分的两种类型

无穷区间的积分
当积分区间为无限时，例如积分上限或下限为无穷大。
- 定义：通过极限将无穷区间转化为有限区间。
  - 积分从( a )到( +infty )：
    $$ int{a}^{+infty} f(x) dx = lim{t to +infty} int_{a}^{t} f(x) dx $$
  - 类似地，积分从( -infty )到( b )或( -infty )到( +infty )也可通过极限定义。
无界函数的积分（瑕积分）
当被积函数在积分区间某点附近无界（如趋向无穷大）。
- 定义：若( f(x) )在点( c )处无界（瑕点），则拆分为两个极限：
  $$ int{a}^{b} f(x) dx = lim{t to c^-} int{a}^{t} f(x) dx + lim{s to c^+} int_{s}^{b} f(x) dx $$
- 若两部分的极限均存在，则瑕积分收敛。

二、收敛与发散

收敛：若上述极限存在且为有限值，则称广义积分收敛，该值为积分结果。
发散：若极限不存在或为无穷大，则积分发散，无意义。

三、经典例子

无穷区间积分
- (int_{1}^{+infty} frac{1}{x} dx = 1)（收敛）
- (int_{1}^{+infty} frac{1}{x} dx)（发散）
瑕积分
- (int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}} dx = 2)（收敛，瑕点在( x=0 )）
- (int_{0}^{1} frac{1}{x} dx)（发散）

四、注意事项

混合情况：若积分同时有无穷区间和瑕点，需分段处理，分别判断收敛性。
判别方法：常用比较判别法、极限判别法等判断积分是否收敛。

通过广义积分，可以解决物理、工程等领域中涉及无限区间或无界函数的实际问题。