柯西矩陣英文解釋翻譯、柯西矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Cauchy matrix

分詞翻譯：

柯的英語翻譯：

【建】 chry-; chryso-

西的英語翻譯：

west; Western

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

柯西矩陣（Cauchy matrix）是一種由兩組數列構造的特殊矩陣，其數學定義為：給定兩組互不相同的實數或複數序列${x_1, x_2, dots, x_n}$和${y_1, y_2, dots, yn}$，對應的柯西矩陣$C$的每個元素滿足

C{ij} = frac{1}{x_i - y_j} quad (1 leq i,j leq n).

該矩陣在數值分析、插值理論及線性代數中具有重要應用。

核心性質

行列式公式：柯西矩陣的行列式可顯式表達為
$$

det(C) = frac{prod_{1 leq i < j leq n} (x_i - x_j)(y_j - yi)}{prod{i,j=1}^n (x_i - y_j)},

$$

這一性質使其在求解線性方程組時具有計算優勢。

低秩性：柯西矩陣的逆矩陣同樣具有顯式表達形式，其元素為多項式函數的組合，這一特性被廣泛用于構造快速算法。

應用場景

多項式插值：柯西矩陣常用于構造插值多項式的系數矩陣，例如在有理函數逼近問題中。
數值穩定性：其行列式的顯式表達可避免數值計算中的舍入誤差積累，適用于高精度計算場景。

漢英術語對照

中文：柯西矩陣
英文：Cauchy matrix
該術語首次由法國數學家奧古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世紀提出，相關理論收錄于《數學物理學報》等經典文獻。

（參考來源：Springer《Encyclopedia of Mathematics》、Horn & Johnson《Matrix Analysis》）

網絡擴展解釋

柯西矩陣（Cauchy matrix）是一種特殊結構的矩陣，在數學和編碼領域有重要應用。以下是其詳細解釋：

1.基本定義

柯西矩陣是一個$m times n$階矩陣，其元素形式為：
$$ C_{i,j} = frac{1}{x_i - y_j} quad (1 leq i leq m, 1 leq j leq n)
$$
其中，${x_i}$和${y_j}$是兩組互不相同的數，且$x_i eq y_j$（否則分母為零）。這一形式最早由G. Polya和G. Szegö在1925年提出。

2.數學性質

行列式表達式：當柯西矩陣為方陣時，其行列式可通過公式計算，且結果與$prod_{i<j}(x_i-x_j)(y_j-y_i)$相關。
逆矩陣存在性：任意柯西矩陣的子方陣均為奇異矩陣（即存在逆矩陣），且在迦羅華域（如GF(2^w)）上的求逆運算複雜度僅為$O(n)$，高效適合編碼應用。
廣義柯西矩陣：通過基變換或引入無窮插值極點，可擴展為廣義柯西矩陣，具有類似的結構和分解性質。

3.應用領域

糾删碼（Erasure Code）：柯西矩陣常用于數據冗餘編碼，其高效求逆特性可加速數據恢複過程。編碼時用柯西矩陣替換範德蒙矩陣，降低運算複雜度。
插值問題：廣義柯西矩陣與多重極點插值問題相關，其結構可用于描述多項式插值中的複雜關系。

4.擴展與變體

廣義柯西範德蒙矩陣：結合柯西塊和範德蒙部分，適用于同時包含有限和無限極點的插值場景。
有限域構造：通過有限域運算生成柯西矩陣，确保元素符合特定數學規則（如模運算）。

柯西矩陣以其獨特的元素形式和高效運算特性，在代數理論、編碼技術及數值分析中均有重要作用。如需進一步了解其構造或具體應用案例，可參考學術文獻或編碼技術文檔。