柯西矩阵英文解释翻译、柯西矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Cauchy matrix

分词翻译：

柯的英语翻译：

【建】 chry-; chryso-

西的英语翻译：

west; Western

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

柯西矩阵（Cauchy matrix）是一种由两组数列构造的特殊矩阵，其数学定义为：给定两组互不相同的实数或复数序列${x_1, x_2, dots, x_n}$和${y_1, y_2, dots, yn}$，对应的柯西矩阵$C$的每个元素满足

C{ij} = frac{1}{x_i - y_j} quad (1 leq i,j leq n).

该矩阵在数值分析、插值理论及线性代数中具有重要应用。

核心性质

行列式公式：柯西矩阵的行列式可显式表达为
$$

det(C) = frac{prod_{1 leq i < j leq n} (x_i - x_j)(y_j - yi)}{prod{i,j=1}^n (x_i - y_j)},

$$

这一性质使其在求解线性方程组时具有计算优势。

低秩性：柯西矩阵的逆矩阵同样具有显式表达形式，其元素为多项式函数的组合，这一特性被广泛用于构造快速算法。

应用场景

多项式插值：柯西矩阵常用于构造插值多项式的系数矩阵，例如在有理函数逼近问题中。
数值稳定性：其行列式的显式表达可避免数值计算中的舍入误差积累，适用于高精度计算场景。

汉英术语对照

中文：柯西矩阵
英文：Cauchy matrix
该术语首次由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪提出，相关理论收录于《数学物理学报》等经典文献。

（参考来源：Springer《Encyclopedia of Mathematics》、Horn & Johnson《Matrix Analysis》）

网络扩展解释

柯西矩阵（Cauchy matrix）是一种特殊结构的矩阵，在数学和编码领域有重要应用。以下是其详细解释：

1.基本定义

柯西矩阵是一个$m times n$阶矩阵，其元素形式为：
$$ C_{i,j} = frac{1}{x_i - y_j} quad (1 leq i leq m, 1 leq j leq n)
$$
其中，${x_i}$和${y_j}$是两组互不相同的数，且$x_i eq y_j$（否则分母为零）。这一形式最早由G. Polya和G. Szegö在1925年提出。

2.数学性质

行列式表达式：当柯西矩阵为方阵时，其行列式可通过公式计算，且结果与$prod_{i<j}(x_i-x_j)(y_j-y_i)$相关。
逆矩阵存在性：任意柯西矩阵的子方阵均为奇异矩阵（即存在逆矩阵），且在迦罗华域（如GF(2^w)）上的求逆运算复杂度仅为$O(n)$，高效适合编码应用。
广义柯西矩阵：通过基变换或引入无穷插值极点，可扩展为广义柯西矩阵，具有类似的结构和分解性质。

3.应用领域

纠删码（Erasure Code）：柯西矩阵常用于数据冗余编码，其高效求逆特性可加速数据恢复过程。编码时用柯西矩阵替换范德蒙矩阵，降低运算复杂度。
插值问题：广义柯西矩阵与多重极点插值问题相关，其结构可用于描述多项式插值中的复杂关系。

4.扩展与变体

广义柯西范德蒙矩阵：结合柯西块和范德蒙部分，适用于同时包含有限和无限极点的插值场景。
有限域构造：通过有限域运算生成柯西矩阵，确保元素符合特定数学规则（如模运算）。

柯西矩阵以其独特的元素形式和高效运算特性，在代数理论、编码技术及数值分析中均有重要作用。如需进一步了解其构造或具体应用案例，可参考学术文献或编码技术文档。