克鲁斯卡算法英文解释翻译、克鲁斯卡算法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kruskal's algorithm

分词翻译：

克的英语翻译：

gram; gramme; overcome; restrain
【医】 G.; Gm.; gram; gramme

鲁的英语翻译：

rash; rude; stupid

斯的英语翻译：

this
【化】 geepound

卡的英语翻译：

block; calorie; checkpost; clip; get stuck; wedge
【化】 calorie
【医】 c.; cal.; calorie; calory; chi; small calorie

算法的英语翻译：

algorithm; arithmetic
【计】 ALG; algorithm; D-algorithm; Roth's D-algorithm
【化】 algorithm
【经】 algorithm

专业解析

克鲁斯卡算法（Kruskal's Algorithm）是一种用于在加权连通图中寻找最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的经典贪心算法。其核心目标是以最小的总边权值连接图中的所有顶点，同时避免形成环路，最终生成一棵树。

1.算法定义与核心思想 (Definition & Core Idea)

汉英对照：最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST) / 贪心算法 (Greedy Algorithm) / 加权图 (Weighted Graph) / 连通图 (Connected Graph) / 环路检测 (Cycle Detection)。
核心思想：算法从图中所有边构成的集合出发（初始时 MST 为空）。它重复地选择当前未加入 MST 且权值最小的边，并将该边加入 MST，但仅当加入这条边不会在当前的 MST 中形成环路时才进行。这个过程持续进行，直到 MST 包含了图中所有的顶点（即包含 V-1 条边，V 为顶点数）。

2.算法详细步骤 (Step-by-Step Procedure)

排序边 (Sort Edges): 将图中所有的边按照权值（权重）从小到大进行排序。
初始化 (Initialize): 创建一个空的集合 MST 用于存放最终的最小生成树的边。为每个顶点创建一个只包含自身的集合（代表一个独立的连通分量）。
迭代选择边 (Iterate & Select Edges):
- 按权值从小到大的顺序遍历每条边。
- 对于当前边 (u, v)：
  - 查找 (Find): 检查顶点 u 和顶点 v 当前所属的连通分量（集合）。
  - 比较 (Compare): 如果 u 和 v 属于不同的连通分量（即 Find(u) != Find(v)），则：
    - 将边 (u, v) 加入 MST。
    - 合并 (Union): 将 u 和 v 所属的两个连通分量合并成一个。
- 如果 u 和 v 属于相同的连通分量（即 Find(u) == Find(v)），则加入这条边会形成环路，因此跳过这条边。
终止条件 (Termination): 当 MST 中包含 V-1 条边（其中 V 是图的顶点总数）时，算法终止。此时 MST 即为所求的最小生成树。

3.关键技术与应用 (Key Techniques & Applications)

环路检测 (Cycle Detection): 步骤 3 中判断 u 和 v 是否属于同一连通分量是算法的核心，这通常通过并查集 (Disjoint Set Union, DSU 或 Union-Find) 数据结构高效实现。并查集支持快速的 Find（查找所属集合代表元）和 Union（合并两个集合）操作。
时间复杂度 (Time Complexity):
- 排序边：$O(E log E)$，其中 E 是边的数量。
- 并查集操作（假设使用路径压缩和按秩合并）：近似 $O(alpha(V))$ 每次操作，其中 $alpha$ 是增长极慢的反阿克曼函数。
- 总时间复杂度主要取决于排序：$O(E log E)$ 或等价于 $O(E log V)$（因为 $E < V$, $log E < 2 log V$）。
应用场景 (Applications): 克鲁斯卡算法广泛应用于需要以最低成本连接多个点的问题，例如：
- 计算机网络设计（连接所有服务器或路由器的最低成本布线）。
- 交通网络规划（连接城市的最低成本公路或铁路）。
- 电路设计（连接元件引脚的最低成本布线）。
- 集群分析（将数据点分组）。

4.与普里姆算法的比较 (Comparison with Prim's Algorithm)

克鲁斯卡算法和普里姆算法 (Prim's Algorithm) 是求解 MST 的两个最著名算法。主要区别在于：

操作对象：克鲁斯卡算法以边为中心，不断选择最小权值的边；普里姆算法以顶点为中心，从一个顶点开始逐步“生长” MST。
适用图类型：两者都适用于无向连通加权图。普里姆算法在稠密图（边数 E 接近顶点数 V 的平方）上通常更高效（使用邻接矩阵和优先队列时可达 $O(V)$），而克鲁斯卡算法在稀疏图（E 远小于 $V$）上因其 $O(E log E)$ 的复杂度而更具优势。
实现依赖：克鲁斯卡算法核心依赖并查集进行高效的连通分量管理；普里姆算法核心依赖优先队列（最小堆）来选择下一个顶点和边。

参考文献 (References):

Kruskal's Algorithm - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm (算法概述、伪代码、历史、复杂度分析)
Kruskal's Minimum Spanning Tree (MST) Algorithm | GeeksforGeeks. https://www.geeksforgeeks.org/kruskals-minimum-spanning-tree-algorithm-greedy-algo-2/ (详细步骤解释、图解、代码实现、复杂度)
Introduction to Algorithms (算法导论) by Cormen, Leiserson, Rivest, Stein. Chapter 23 Minimum Spanning Trees. (权威教材，包含严格的算法描述、正确性证明和复杂度分析)
Disjoint-set data structure (Union-Find) - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure (克鲁斯卡算法依赖的核心数据结构原理)

网络扩展解释

克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）是一种用于求解带权无向图的最小生成树（MST）的贪心算法。以下从多个角度详细解释其核心概念和实现逻辑：

一、算法定义与用途

最小生成树指包含图中所有顶点的树，且树中边的权重之和最小。该算法常用于通信网络设计、交通规划等场景，以经济高效的方式连接所有节点。

二、核心思想

贪心策略：按边权值从小到大排序，依次选择不构成回路的边，直到选出(n-1)条边（(n)为顶点数）。
回路检测：通过并查集（Union-Find）数据结构判断新加入的边是否会导致环路，确保生成树无环。

三、实现步骤

初始化：将图中所有边按权值升序排列。
构建森林：初始时每个顶点自成一个连通分量（即单节点树）。
迭代选边：
- 依次选取权值最小的边。
- 若该边连接的两个顶点属于不同连通分量，则加入生成树，并合并这两个分量。
- 若属于同一分量（形成回路），则跳过。
终止条件：当生成树包含(n-1)条边时结束。

四、示例说明

以包含6个顶点的图为例（参考）：

第1步选边(E-F)（权值最小）；
后续依次选(C-D)、(D-E)等，跳过会形成环的边（如(C-E)）；
最终生成树包含6条边，总权值最小。

五、时间复杂度与适用场景

时间复杂度：主要消耗在边排序（(O(E log E))）和并查集操作（近似(O(E alpha(V)))），总复杂度为(O(E log E))。
适用性：适合边稀疏的图（边数远小于顶点数平方），而Prim算法更适合稠密图。

六、对比其他算法

与Prim算法的差异：

数据操作：Prim基于顶点扩展，需维护顶点集合；Kruskal基于边排序，依赖并查集。
效率：Kruskal在稀疏图中更高效，Prim在稠密图中表现更优。

如需进一步了解具体代码实现或数学证明，可参考上述来源中的详细示例（如的步骤解析或的复杂度推导）。