矩陣鍊乘積英文解釋翻譯、矩陣鍊乘積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix chain product

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

鍊的英語翻譯：

catenary; chain
【醫】 chain

乘積的英語翻譯：

product

專業解析

矩陣鍊乘積（Matrix Chain Multiplication）是計算機科學與線性代數中的經典優化問題，主要研究如何通過調整多個矩陣相乘的順序，使得整體計算成本最小化。其英文對應術語為"Matrix Chain Multiplication"，在動态規劃領域具有重要地位。

從數學角度分析，給定矩陣序列 ( A_1 times A_2 times cdots times A_n )，每個矩陣 ( Ai ) 的維度為 ( p{i-1} times pi )。矩陣鍊乘積問題要求找到最優的括號化方案，使得标量乘法總次數最少。該問題可通過遞推公式表達為： $$ m[i,j] = begin{cases} 0 & text{若 } i=j minlimits{i leq k < j} [m[i,k] + m[k+1,j] + p_{i-1}p_kp_j] & text{若 } i<j end{cases} $$ 其中 ( m[i,j] ) 表示計算 ( A_i cdots A_j ) 所需的最小乘法次數。

實際應用中，該算法被廣泛運用于編譯器設計（如代碼優化）、圖形學（變換矩陣組合）和量子計算模拟等領域。例如在OpenGL圖形渲染管線中，連續的空間變換矩陣相乘順序直接影響渲染效率。

權威研究表明，該問題的優化算法時間複雜度可降低至 ( O(n) )，相比暴力窮舉法的指數級複雜度顯著提升。此結論已被收錄于《算法導論》（Introduction to Algorithms）等經典教材。

網絡擴展解釋

矩陣鍊乘積（Matrix Chain Multiplication）是動态規劃中的經典問題，主要解決多個矩陣連續相乘時如何選擇計算順序，使得總标量乘法次數最少的問題。以下是詳細解釋：

核心概念

問題背景
當多個矩陣相乘時，不同的乘法順序會導緻計算量差異巨大。例如，三個矩陣 ( A{10×20} )、( B{20×30} )、( C_{30×40} )，若按 ((A×B)×C) 計算，乘法次數為 (10×20×30 + 10×30×40 = 18,000)；若按 (A×(B×C))，則為 (20×30×40 + 10×20×40 = 32,000)。前者明顯更優。
目标
找到一種“括號化方案”，使所有矩陣相乘的總計算代價最小。

動态規劃解法

定義子問題
設矩陣鍊為 ( A_1A_2…A_n )，維度為 ( p_0×p_1, p_1×p2, …, p{n-1}×p_n )。定義 ( m[i][j] ) 表示計算 ( AiA{i+1}…A_j ) 所需的最小乘法次數。
遞推公式
[ m[i][j] = begin{cases} 0 & text{if } i = j min{i leq k < j} { m[i][k] + m[k+1][j] + p{i-1}×p_k×p_j } & text{if } i < j end{cases} ] 其中 ( k ) 是分割點，将鍊分為 ( A_i…Ak ) 和 ( A{k+1}…A_j )。
填表過程
- 按鍊長度從小到大（如長度2到n）逐步計算所有 ( m[i][j] )。
- 同時記錄分割點 ( s[i][j] = k )，用于回溯最優括號化方案。
時間複雜度
三重循環，複雜度為 ( O(n) )，空間複雜度為 ( O(n) )。

示例

矩陣鍊維度：( [10, 20, 30, 40] )（即三個矩陣 ( 10×20 )、( 20×30 )、( 30×40 )）
最優分割：在第二個矩陣後分割，即 ((A_1A_2)A_3)，總次數為 (18,000)。

應用場景

高性能計算：優化大規模矩陣運算（如機器學習、圖形學）。
編譯器優化：自動生成高效代碼。
算法設計：動态規劃教學的典型案例。

通過動态規劃方法，矩陣鍊乘積問題能夠高效找到最優計算順序，顯著降低計算成本。