卷积定理英文解释翻译、卷积定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convolution theorem

分词翻译：

卷的英语翻译：

roll; volume; examination paper; reel; wrap
【计】 reel; volume
【医】 roll
【经】 coil

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

卷积定理（Convolution Theorem）是信号处理与系统分析中的核心理论，揭示了时域与频域运算之间的等效关系。其定义为：两个函数在时域中的卷积运算，等价于它们在频域中傅里叶变换（或拉普拉斯变换）的乘积，反之亦然。数学表达式如下：

$$ mathcal{F}{f * g} = mathcal{F}{f} cdot mathcal{F}{g} $$

其中，$f * g$ 表示时域卷积，$mathcal{F}$ 为傅里叶变换算子，$cdot$ 为频域乘积。

汉英术语对照

卷积定理 - Convolution Theorem
时域 - Time Domain
频域 - Frequency Domain
傅里叶变换 - Fourier Transform
拉普拉斯变换 - Laplace Transform

应用领域

信号处理：通过频域乘法实现高效滤波，例如噪声消除。
图像处理：卷积核运算（如高斯模糊、边缘检测）可转化为频域操作以提升计算效率。
通信系统：调制与解调过程依赖频域等效性简化设计。

权威参考

数学定义：MathWorld 卷积定理
工程应用：IEEE Xplore 文献库中《信号处理基础》
教材解析：MIT OpenCourseWare《信号与系统》课程讲义

该定理通过统一时-频域分析方法，为跨学科工程问题提供了普适工具，其严谨性已被数学与工程学界广泛验证。

网络扩展解释

卷积定理是信号处理和数学分析中的核心原理，揭示了时域与频域之间的对应关系。以下是详细解释：

一、基本定义

卷积定理指出：两个函数在时域中的卷积运算，等价于它们在频域中傅里叶变换的乘积；反之，时域中的乘积对应频域中的卷积。这一关系可双向表达为：

时域卷积定理
$$mathcal{F}{f * g} = mathcal{F}{f} cdot mathcal{F}{g}$$
即两个函数卷积后的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积。
频域卷积定理
$$mathcal{F}{f cdot g} = mathcal{F}{f} * mathcal{F}{g}$$
即两个函数乘积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的卷积。

二、数学意义

运算简化
将复杂的卷积运算转化为频域中的乘积，极大降低计算复杂度。例如信号滤波时，直接时域卷积需$O(N)$时间，而通过傅里叶变换转为频域乘积仅需$O(Nlog N)$。
对偶性
时域与频域通过傅里叶变换形成对称关系，体现了信号在不同维度（时间/频率）的等价表征。

三、直观解释

时域卷积=频域乘积：若将信号分解为不同频率的正弦波，卷积相当于调整各频率分量的幅度和相位，最终效果等同于直接对频域系数相乘。
向量空间视角：傅里叶基函数构成正交基，卷积操作可视为在频域对基向量系数进行加权组合。

四、应用领域

信号处理：如滤波器设计，通过频域乘积快速实现噪声消除。
图像处理：卷积神经网络（CNN）利用卷积提取特征，频域加速计算。
物理与工程：在电路分析、波动方程求解中简化微分方程运算。

公式总结

$$ begin{aligned} text{时域卷积} &xrightarrow{mathcal{F}} text{频域乘积} text{时域乘积} &xrightarrow{mathcal{F}} text{频域卷积} end{aligned} $$ 其中$mathcal{F}$表示傅里叶变换运算符。