極值問題英文解釋翻譯、極值問題的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 extreme-value problem

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

issue; problem; question; trouble
【計】 sieve problem
【經】 subject

在數學領域，"極值問題"（Extremum Problems）指研究函數在其定義域内取得最大值（Maximum）或最小值（Minimum）的問題。以下是詳細解釋：

一、核心概念與漢英對照

極值 (Extremum)：函數在某點或其鄰域内的取值達到峰值（極大值）或谷值（極小值）的狀态。它包含極大值 (Local Maximum) 和極小值 (Local Minimum)。
極值點 (Critical Point / Stationary Point)：函數導數（一元函數）或梯度（多元函數）為零或不存在的點，是極值可能出現的候選位置。
最值 (Global Maximum/Minimum)：函數在整個定義域上的最大值和最小值，統稱為全局極值。極值（極大/極小值）是局部概念，最值是全局概念。

二、數學本質與應用極值問題的核心是利用微分學工具（如導數、偏導數、Hessian矩陣）分析函數變化率，通過求解臨界點并判斷其性質（如一階導數檢驗法、二階導數檢驗法）來确定極值的存在性和類型。該理論廣泛應用于：

三、漢英詞典釋義要點權威漢英詞典對"極值"及相關術語的釋義通常強調：

極值 (Extremum)：數學函數的最大值或最小值（the maximum or minimum value of a mathematical function）。
極大值 (Maximum)：函數在特定區間或點附近所能達到的最高值（the greatest value attained by a function on a given interval or at a point）。
極小值 (Minimum)：函數在特定區間或點附近所能達到的最低值（the smallest value attained by a function on a given interval or at a point）。
臨界點 (Critical Point)：函數導數為零或未定義的點，是潛在極值點（a point where the derivative is zero or undefined）。

參考資料來源：

普林斯頓大學數學術語表 (Princeton University Mathematics Glossary) - 提供極值、臨界點等基礎定義。
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals (Cengage Learning) - 标準微積分教材，詳述極值求解方法與應用。
《數學辭海》 (中國科學技術出版社) - 中文權威數學工具書，涵蓋極值理論體系。
Nocedal & Wright, Numerical Optimization (Springer) - 論述極值問題在優化算法中的核心地位。
劍橋詞典線上版 (Cambridge Dictionary Online) - 提供術語的簡明英文釋義。

極值問題是數學分析中的核心概念，指研究函數在定義域内的最大值和最小值（統稱極值）的存在性、求解方法及其應用。以下是關鍵解析：

極值點：若函數( f(x) )在點( x_0 )的鄰域内，所有( x )滿足( f(x) leq f(x_0) )（或( f(x) geq f(x_0) )），則稱( x_0 )為極大值點（或極小值點）。
局部與全局極值：
- 局部極值：僅在某個鄰域内比較得出的極值。
- 全局極值（最值）：在整個定義域内比較得出的最大或最小值。

一階導數測試：
- 求導( f'(x) )，找到臨界點（即( f'(x)=0 )或導數不存在的點）。
- 分析臨界點兩側導數的符號變化：左正右負為極大值，左負右正為極小值。
二階導數測試：
- 在臨界點( x_0 )處，若( f''(x_0) < 0 )，則( x_0 )為極大值點；若( f''(x_0) > 0 )，則為極小值點。

通過以上分析，極值問題不僅為理論研究提供工具，更在科學、工程和經濟等領域有廣泛的實際意義。