极值问题英文解释翻译、极值问题的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 extreme-value problem

分词翻译：

极值的英语翻译：

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

问题的英语翻译：

issue; problem; question; trouble
【计】 sieve problem
【经】 subject

专业解析

在数学领域，"极值问题"（Extremum Problems）指研究函数在其定义域内取得最大值（Maximum）或最小值（Minimum）的问题。以下是详细解释：

一、核心概念与汉英对照

• 极值 (Extremum)：函数在某点或其邻域内的取值达到峰值（极大值）或谷值（极小值）的状态。它包含极大值 (Local Maximum) 和极小值 (Local Minimum)。
• 极值点 (Critical Point / Stationary Point)：函数导数（一元函数）或梯度（多元函数）为零或不存在的点，是极值可能出现的候选位置。
• 最值 (Global Maximum/Minimum)：函数在整个定义域上的最大值和最小值，统称为全局极值。极值（极大/极小值）是局部概念，最值是全局概念。

二、数学本质与应用 极值问题的核心是利用微分学工具（如导数、偏导数、Hessian矩阵）分析函数变化率，通过求解临界点并判断其性质（如一阶导数检验法、二阶导数检验法）来确定极值的存在性和类型。该理论广泛应用于：

1. 优化问题：在工程、经济学、管理科学中寻找成本最低、收益最高、效率最优的方案。
2. 物理建模：求解力学系统的平衡点（势能极小值）、光线传播的最短路径（费马原理）等。
3. 几何问题：例如在给定约束下（如固定周长）寻找面积最大的矩形（等周问题）。

三、汉英词典释义要点 权威汉英词典对"极值"及相关术语的释义通常强调：

• 极值 (Extremum)：数学函数的最大值或最小值（the maximum or minimum value of a mathematical function）。
• 极大值 (Maximum)：函数在特定区间或点附近所能达到的最高值（the greatest value attained by a function on a given interval or at a point）。
• 极小值 (Minimum)：函数在特定区间或点附近所能达到的最低值（the smallest value attained by a function on a given interval or at a point）。
• 临界点 (Critical Point)：函数导数为零或未定义的点，是潜在极值点（a point where the derivative is zero or undefined）。

参考资料来源：

1. 普林斯顿大学数学术语表 (Princeton University Mathematics Glossary) - 提供极值、临界点等基础定义。
2. Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals (Cengage Learning) - 标准微积分教材，详述极值求解方法与应用。
3. 《数学辞海》 (中国科学技术出版社) - 中文权威数学工具书，涵盖极值理论体系。
4. Nocedal & Wright, Numerical Optimization (Springer) - 论述极值问题在优化算法中的核心地位。
5. 剑桥词典在线版 (Cambridge Dictionary Online) - 提供术语的简明英文释义。

网络扩展解释

极值问题是数学分析中的核心概念，指研究函数在定义域内的最大值和最小值（统称极值）的存在性、求解方法及其应用。以下是关键解析：

一、基本定义

1. 极值点：若函数( f(x) )在点( x_0 )的邻域内，所有( x )满足( f(x) leq f(x_0) )（或( f(x) geq f(x_0) )），则称( x_0 )为极大值点（或极小值点）。
2. 局部与全局极值：
   • 局部极值：仅在某个邻域内比较得出的极值。
   • 全局极值（最值）：在整个定义域内比较得出的最大或最小值。

二、求解方法

1. 一阶导数测试：
   • 求导( f'(x) )，找到临界点（即( f'(x)=0 )或导数不存在的点）。
   • 分析临界点两侧导数的符号变化：左正右负为极大值，左负右正为极小值。
2. 二阶导数测试：
   • 在临界点( x_0 )处，若( f''(x_0) < 0 )，则( x_0 )为极大值点；若( f''(x_0) > 0 )，则为极小值点。

三、重要定理

1. 费马定理：若函数在( x_0 )处可导且取得极值，则( f'(x_0) = 0 )。
2. 极值存在定理（魏尔斯特拉斯定理）：闭区间上的连续函数必存在全局极大值和极小值。

四、扩展与应用

1. 多元函数极值：通过梯度( abla f = 0 )找临界点，并用Hessian矩阵判断极值类型。
2. 约束优化：如拉格朗日乘数法，处理带约束条件的极值问题。
3. 实际应用：经济学中的利润最大化、工程中的材料强度优化、机器学习中的损失函数最小化等。

五、注意事项

• 临界点不一定是极值点（如( f(x)=x )在( x=0 )处导数为0，但非极值）。
• 函数在非可导点（如尖点、间断点）也可能存在极值，需单独分析。

通过以上分析，极值问题不仅为理论研究提供工具，更在科学、工程和经济等领域有广泛的实际意义。

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