閉集英文解釋翻譯、閉集的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【計】 closed set
相關詞條：
1.closedaggregate 2.topologicallyclosedset
分詞翻譯：
閉的英語翻譯：
close; shut
集的英語翻譯：
collect; collection; gather; volume
【電】 set
專業解析
在數學分析及拓撲學中，閉集（Closed Set）是一個基礎而重要的概念。以下是其詳細解釋：
一、基本定義
閉集（Closed Set）指在給定拓撲空間中，其補集為開集的集合。更直觀地說，一個集合若包含其所有極限點（即集合内任意收斂序列的極限仍屬于該集合），則它是閉集。
英文對照：
- 閉集 → Closed Set
- 極限點 → Limit Point
- 補集 → Complement
數學表達：
若集合 ( S ) 滿足 ( S = overline{S} )（( overline{S} ) 為 ( S ) 的閉包），則 ( S ) 是閉集。
二、關鍵特性
-
閉集與開集的對偶性
閉集的定義依賴于開集：一個集合是閉集當且僅當其補集是開集。這一性質是拓撲空間公理的核心之一。
-
極限點的封閉性
閉集對極限運算封閉。例如，在實數集 (mathbb{R}) 中，區間 ([a, b]) 是閉集，因為其内任意收斂數列的極限仍屬于該區間。
-
閉集的運算性質
- 有限個閉集的并集仍是閉集。
- 任意多個閉集的交集仍是閉集。
三、典型示例
-
實數空間中的閉集
- 閉區間 ([0, 1])、單點集 ({0})、集合 ([1, +infty)) 均為閉集。
- 反例：開區間 ((0, 1)) 不是閉集，因其不包含極限點 (0) 和 (1)。
-
歐幾裡得空間中的閉集
在 (mathbb{R}^n) 中，閉球 ({mathbf{x} : |mathbf{x}| leq r})、閉矩形 ([a,b] times [c,d]) 均為閉集。
引用來源
- Springer Math Encyclopedia
Closed Set Definition
- Wolfram MathWorld
Closed Set Properties
- 《實分析導論》（Rudin）
Chapter 2: Basic Topology.
- Munkres, Topology
Section 17: Closed Sets and Limit Points.
網絡擴展解釋
閉集是數學中拓撲空間和度量空間的核心概念之一，其定義和性質在不同數學分支中有重要應用。
定義
- 拓撲空間中的閉集：若一個集合的補集是開集，則該集合稱為閉集。例如，在實數軸的标準拓撲中，閉區間 ([a, b]) 是閉集，因為其補集 ((-infty, a) cup (b, +infty)) 是開集。
- 度量空間中的閉集：若集合包含其所有極限點（即對任意收斂于該集合的序列，其極限仍屬于該集合），則該集合是閉集。例如，集合 ({x in mathbb{R} mid x geq 0}) 是閉集，因為它包含所有非負實數的極限點。
關鍵性質
- 閉包特性：閉集等于自身的閉包（即包含集合及其所有極限點的最小閉集）。
- 運算封閉性：任意多個閉集的交集仍是閉集，有限個閉集的并集仍是閉集。
- 與開集的關系：一個集合可以同時是開集和閉集（稱為“閉開集”），例如在離散拓撲中所有子集均閉開。
例子
- 實數空間：閉區間 () 是閉集，而開區間 ((0,1)) 不是閉集（因其不包含極限點 0 和 1）。
- 離散拓撲：所有子集均為閉集。
- 密着拓撲：僅空集和全集是閉集。
與其他概念的區别
- 閉集 vs 完備空間：閉集強調包含極限點，而完備空間指所有柯西序列收斂（如實數空間是完備的，但有理數空間不是）。
- 閉集 vs 緊集：在歐氏空間中，閉集若同時有界則為緊集（海涅-博雷爾定理）。
閉集的概念在分析學、泛函分析（如閉圖像定理）和幾何中均有廣泛應用，是理解連續性、收斂性等基礎性質的關鍵工具。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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