闭集英文解释翻译、闭集的近义词、反义词、例句
英语翻译：
【计】 closed set
相关词条：
1.closedaggregate 2.topologicallyclosedset
分词翻译：
闭的英语翻译：
close; shut
集的英语翻译：
collect; collection; gather; volume
【电】 set
专业解析
在数学分析及拓扑学中，闭集（Closed Set）是一个基础而重要的概念。以下是其详细解释：
一、基本定义
闭集（Closed Set）指在给定拓扑空间中，其补集为开集的集合。更直观地说，一个集合若包含其所有极限点（即集合内任意收敛序列的极限仍属于该集合），则它是闭集。
英文对照：
- 闭集 → Closed Set
- 极限点 → Limit Point
- 补集 → Complement
数学表达：
若集合 ( S ) 满足 ( S = overline{S} )（( overline{S} ) 为 ( S ) 的闭包），则 ( S ) 是闭集。
二、关键特性
-
闭集与开集的对偶性
闭集的定义依赖于开集：一个集合是闭集当且仅当其补集是开集。这一性质是拓扑空间公理的核心之一。
-
极限点的封闭性
闭集对极限运算封闭。例如，在实数集 (mathbb{R}) 中，区间 ([a, b]) 是闭集，因为其内任意收敛数列的极限仍属于该区间。
-
闭集的运算性质
- 有限个闭集的并集仍是闭集。
- 任意多个闭集的交集仍是闭集。
三、典型示例
-
实数空间中的闭集
- 闭区间 ([0, 1])、单点集 ({0})、集合 ([1, +infty)) 均为闭集。
- 反例：开区间 ((0, 1)) 不是闭集，因其不包含极限点 (0) 和 (1)。
-
欧几里得空间中的闭集
在 (mathbb{R}^n) 中，闭球 ({mathbf{x} : |mathbf{x}| leq r})、闭矩形 ([a,b] times [c,d]) 均为闭集。
引用来源
- Springer Math Encyclopedia
Closed Set Definition
- Wolfram MathWorld
Closed Set Properties
- 《实分析导论》（Rudin）
Chapter 2: Basic Topology.
- Munkres, Topology
Section 17: Closed Sets and Limit Points.
网络扩展解释
闭集是数学中拓扑空间和度量空间的核心概念之一，其定义和性质在不同数学分支中有重要应用。
定义
- 拓扑空间中的闭集：若一个集合的补集是开集，则该集合称为闭集。例如，在实数轴的标准拓扑中，闭区间 ([a, b]) 是闭集，因为其补集 ((-infty, a) cup (b, +infty)) 是开集。
- 度量空间中的闭集：若集合包含其所有极限点（即对任意收敛于该集合的序列，其极限仍属于该集合），则该集合是闭集。例如，集合 ({x in mathbb{R} mid x geq 0}) 是闭集，因为它包含所有非负实数的极限点。
关键性质
- 闭包特性：闭集等于自身的闭包（即包含集合及其所有极限点的最小闭集）。
- 运算封闭性：任意多个闭集的交集仍是闭集，有限个闭集的并集仍是闭集。
- 与开集的关系：一个集合可以同时是开集和闭集（称为“闭开集”），例如在离散拓扑中所有子集均闭开。
例子
- 实数空间：闭区间 () 是闭集，而开区间 ((0,1)) 不是闭集（因其不包含极限点 0 和 1）。
- 离散拓扑：所有子集均为闭集。
- 密着拓扑：仅空集和全集是闭集。
与其他概念的区别
- 闭集 vs 完备空间：闭集强调包含极限点，而完备空间指所有柯西序列收敛（如实数空间是完备的，但有理数空间不是）。
- 闭集 vs 紧集：在欧氏空间中，闭集若同时有界则为紧集（海涅-博雷尔定理）。
闭集的概念在分析学、泛函分析（如闭图像定理）和几何中均有广泛应用，是理解连续性、收敛性等基础性质的关键工具。
分类
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
别人正在浏览...
埃克尔氏液爱子苯的同系物肠密螺旋体超小型磁盘电荷耦合元件多道程序设计调度反压阀覆盖水蒸汽公地开垦法国家审判合并手续费黑毯校准军用必需品开关调温器抗爆性砰价法每日津贴密闭系统千日红属奇电子切角清除程序热处理三角肌反射十进制记数法试验性质的松烟头疼外葡萄糖水解
