完全β函數英文解釋翻譯、完全β函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complete beta function

例句：

這完全是你的過錯。
It's your fault entirely.
你完全誤解了我的意思。
You mistook my meaning entirely.
所有這些完全都是多餘的。
All this is totally unnecessary.
在我看來，這次演出恐怕不能算是完全成功的。
I'm afraid that the performance was not a total success.
這個官員對窮人的需求表現出完全漠視的态度。
The official has shown a total disregard for the needs of the poor.
這些孩子似乎完全不能安靜地自己做功課。
The children seem to be totally incapable of working quietly by themselves.
我在完全了解事實真相後，才打消顧慮，支持他的立場。
I hesitated about taking his side until I knew the whole story.
我完全同意你的看法。
I entirely agree with you.

分詞翻譯：

完的英語翻譯：

finish; thru; use up; whole

全的英語翻譯：

complete; entirely; full; whole
【醫】 pan-; pant-; panto-

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

完全β函數（Complete Beta Function）的漢英詞典解釋

一、數學定義

完全β函數是特殊函數的一種，定義為以下積分形式：

B(x, y) = int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt

其中 ( x > 0 )，( y > 0 )。其英文名稱為"Complete Beta Function"，中文亦譯作“完全貝塔函數”。

二、核心性質

與伽瑪函數的關系
完全β函數可通過伽瑪函數（Gamma Function）表示為：

$$

B(x, y) = frac{Gamma(x) Gamma(y)}{Gamma(x+y)}

$$

這一關聯是分析其性質的基礎，體現了特殊函數間的統一性。
對稱性
( B(x, y) = B(y, x) )，即變量互換不影響結果。
特殊值
當 ( x = y = 1 ) 時，( B(1,1) = 1 )；若 ( x ) 或 ( y ) 為半整數，則與圓周率 ( pi ) 相關。

三、應用場景

概率統計
在貝塔分布（Beta Distribution）的概率密度函數中，完全β函數作為歸一化常數出現：

$$

f(t) = frac{1}{B(alpha,beta)} t^{alpha-1} (1-t)^{beta-1}

$$

其中 ( alpha, beta ) 為分布參數。
組合數學
用于計算二項式系數的積分表示，例如：

$$

binom{n}{k} = frac{1}{B(k+1, n-k+1)}

$$
物理與工程
在信號處理中用于濾波器設計，在量子力學中與費米子系統的态密度相關。

四、與不完全β函數的區别

完全β函數積分區間固定為 )，而不完全β函數（Incomplete Beta Function）的積分上限為變量 ( z )（( 0 leq z leq 1 )）：

B(z; x, y) = int_{0}^{z} t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt

兩者通過關系式 ( B(x, y) = B(1; x, y) ) 關聯。

參考資料：

Arfken, G.B., Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press.
Abramowitz, M., Stegun, I.A. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications.
Whittaker, E.T., Watson, G.N. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press.

網絡擴展解釋

完全β函數（Complete Beta Function）是數學中的一種特殊函數，通常簡稱為β函數（Beta Function），屬于歐拉積分的一種類型。以下是詳細解釋：

1.定義

完全β函數的數學表達式為： $$ B(p, q) = int_0 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $$ 其中，參數 ( p ) 和 ( q ) 是正實數（或複數，但實部需為正數，即 ( text{Re}(p), text{Re}(q) > 0 )）。

2.性質

對稱性：( B(p, q) = B(q, p) )，即交換參數後函數值不變。
與伽馬函數的關系： $$ B(p, q) = frac{Gamma(p)Gamma(q)}{Gamma(p+q)} $$ 其中 ( Gamma ) 是伽馬函數（Gamma Function），這是β函數與伽馬函數之間的重要聯繫。

3.應用領域

概率論：用于定義貝塔分布（Beta Distribution），常用于建模概率的概率分布。
組合數學：與二項式系數相關，例如計算組合數時可能涉及β函數。
統計學：在貝葉斯分析中作為共轭先驗分布。

4.與“不完全β函數”的區别

不完全β函數（Incomplete Beta Function）是β函數的一種擴展形式，其積分上限為變量 ( x )（即 ( int_0^x t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt )），而完全β函數的積分上限固定為1。

完全β函數是研究概率分布、組合數學等領域的重要工具，其定義和性質與伽馬函數緊密相關。若需更多應用案例或公式推導細節，可參考數理統計或特殊函數相關教材。