完全β函数英文解释翻译、完全β函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 complete beta function

例句：

这完全是你的过错。
It's your fault entirely.
你完全误解了我的意思。
You mistook my meaning entirely.
所有这些完全都是多余的。
All this is totally unnecessary.
在我看来，这次演出恐怕不能算是完全成功的。
I'm afraid that the performance was not a total success.
这个官员对穷人的需求表现出完全漠视的态度。
The official has shown a total disregard for the needs of the poor.
这些孩子似乎完全不能安静地自己做功课。
The children seem to be totally incapable of working quietly by themselves.
我在完全了解事实真相后，才打消顾虑，支持他的立场。
I hesitated about taking his side until I knew the whole story.
我完全同意你的看法。
I entirely agree with you.

分词翻译：

完的英语翻译：

finish; thru; use up; whole

全的英语翻译：

complete; entirely; full; whole
【医】 pan-; pant-; panto-

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

完全β函数（Complete Beta Function）的汉英词典解释

一、数学定义

完全β函数是特殊函数的一种，定义为以下积分形式：

B(x, y) = int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt

其中 ( x > 0 )，( y > 0 )。其英文名称为"Complete Beta Function"，中文亦译作“完全贝塔函数”。

二、核心性质

与伽玛函数的关系
完全β函数可通过伽玛函数（Gamma Function）表示为：

$$

B(x, y) = frac{Gamma(x) Gamma(y)}{Gamma(x+y)}

$$

这一关联是分析其性质的基础，体现了特殊函数间的统一性。
对称性
( B(x, y) = B(y, x) )，即变量互换不影响结果。
特殊值
当 ( x = y = 1 ) 时，( B(1,1) = 1 )；若 ( x ) 或 ( y ) 为半整数，则与圆周率 ( pi ) 相关。

三、应用场景

概率统计
在贝塔分布（Beta Distribution）的概率密度函数中，完全β函数作为归一化常数出现：

$$

f(t) = frac{1}{B(alpha,beta)} t^{alpha-1} (1-t)^{beta-1}

$$

其中 ( alpha, beta ) 为分布参数。
组合数学
用于计算二项式系数的积分表示，例如：

$$

binom{n}{k} = frac{1}{B(k+1, n-k+1)}

$$
物理与工程
在信号处理中用于滤波器设计，在量子力学中与费米子系统的态密度相关。

四、与不完全β函数的区别

完全β函数积分区间固定为 )，而不完全β函数（Incomplete Beta Function）的积分上限为变量 ( z )（( 0 leq z leq 1 )）：

B(z; x, y) = int_{0}^{z} t^{x-1} (1-t)^{y-1}dt

两者通过关系式 ( B(x, y) = B(1; x, y) ) 关联。

参考资料：

Arfken, G.B., Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press.
Abramowitz, M., Stegun, I.A. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications.
Whittaker, E.T., Watson, G.N. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press.

网络扩展解释

完全β函数（Complete Beta Function）是数学中的一种特殊函数，通常简称为β函数（Beta Function），属于欧拉积分的一种类型。以下是详细解释：

1.定义

完全β函数的数学表达式为： $$ B(p, q) = int_0 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $$ 其中，参数 ( p ) 和 ( q ) 是正实数（或复数，但实部需为正数，即 ( text{Re}(p), text{Re}(q) > 0 )）。

2.性质

对称性：( B(p, q) = B(q, p) )，即交换参数后函数值不变。
与伽马函数的关系： $$ B(p, q) = frac{Gamma(p)Gamma(q)}{Gamma(p+q)} $$ 其中 ( Gamma ) 是伽马函数（Gamma Function），这是β函数与伽马函数之间的重要联系。

3.应用领域

概率论：用于定义贝塔分布（Beta Distribution），常用于建模概率的概率分布。
组合数学：与二项式系数相关，例如计算组合数时可能涉及β函数。
统计学：在贝叶斯分析中作为共轭先验分布。

4.与“不完全β函数”的区别

不完全β函数（Incomplete Beta Function）是β函数的一种扩展形式，其积分上限为变量 ( x )（即 ( int_0^x t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt )），而完全β函数的积分上限固定为1。

完全β函数是研究概率分布、组合数学等领域的重要工具，其定义和性质与伽马函数紧密相关。若需更多应用案例或公式推导细节，可参考数理统计或特殊函数相关教材。