全遞歸函數英文解釋翻譯、全遞歸函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 total recursive function

分詞翻譯：

全的英語翻譯：

complete; entirely; full; whole
【醫】 pan-; pant-; panto-

遞歸函數的英語翻譯：

【計】 recursive function

專業解析

全遞歸函數（Total Recursive Function）是數理邏輯與可計算性理論中的核心概念，指在所有自然數輸入上均有定義的遞歸函數。其定義為：若存在一種算法（如圖靈機），能夠針對任意自然數輸入在有限步驟内停機并輸出結果，則該函數稱為全遞歸函數。與之相對的“部分遞歸函數”可能在某些輸入上無法停機。

從數學形式化角度，全遞歸函數滿足以下特征：

全域性：定義域覆蓋全體自然數集$mathbb{N}$；
可計算性：可通過μ遞歸函數、圖靈機或λ演算等模型實現計算；
确定性：輸入與輸出存在唯一映射關系，符合$f: mathbb{N}^k to mathbb{N}$的嚴格數學規範。

在計算複雜性分類中，全遞歸函數構成一般遞歸函數的真子集。根據Church-Turing論題，所有人類直覺可計算的數論函數均與全遞歸函數等價，這一結論被廣泛引用于可判定性問題的研究中。

權威文獻如《可計算性與邏輯》（Computability and Logic）和《斯坦福哲學百科全書》均指出，全遞歸函數與原始遞歸函數的關鍵差異在于前者允許無界μ算子（即搜索運算），但需保證搜索過程必然終止。這種性質使其能表達更複雜的計算問題，例如素數判定函數：

$$ text{Prime}(n) = begin{cases} 1 & text{若}ntext{為素數} 0 & text{否則} end{cases} $$

該函數可通過驗證$2$到$sqrt{n}$範圍内是否存在因數來實現全遞歸性。

網絡擴展解釋

“全遞歸函數”是遞歸論（可計算性理論）中的一個核心概念，指在所有輸入上都有定義的遞歸函數。以下是詳細解釋：

1. 定義與基本性質

全遞歸函數是處處定義的遞歸函數，即對于每一個可能的輸入值，該函數都能在有限步驟内終止并給出計算結果。它與“部分遞歸函數”形成對比——後者可能在部分輸入上無法終止（即計算結果未定義）。

數學上，全遞歸函數屬于可計算函數的範疇，符合Church-Turing論題：任何全遞歸函數都可以被圖靈機計算，且圖靈機在所有輸入上停機。

2. 構造方式

全遞歸函數通過以下基本運算構建：

初始函數：零函數、後繼函數、投影函數；
組合：将已有函數組合為新函數；
原始遞歸：通過遞歸模式定義新函數；
μ算子（極小化）：找到使某謂詞成立的最小輸入值。

例如，加法函數可通過原始遞歸定義為全遞歸函數： $$ begin{aligned} text{add}(x, 0) &= x, text{add}(x, y+1) &= text{succ}(text{add}(x, y)) end{aligned} $$

3. 與部分遞歸函數的關系

部分遞歸函數：可能在某些輸入上無定義（即計算不終止），例如嘗試解停機問題的函數。
全遞歸函數：是部分遞歸函數的真子集，要求所有輸入必須終止。例如階乘函數、斐波那契數列均為全遞歸函數。

4. 不可判定性與示例

著名的停機問題揭示了全遞歸函數的局限性：判斷“某個部分遞歸函數是否為全遞歸函數”是不可判定的，即不存在一個全遞歸函數能對此做出判定。

提示

由于術語在不同文獻中可能有細微差異，若您遇到具體定義矛盾，建議結合上下文或提供更多背景信息以便更精準解釋。