全递归函数英文解释翻译、全递归函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 total recursive function

分词翻译：

全的英语翻译：

complete; entirely; full; whole
【医】 pan-; pant-; panto-

递归函数的英语翻译：

【计】 recursive function

专业解析

全递归函数（Total Recursive Function）是数理逻辑与可计算性理论中的核心概念，指在所有自然数输入上均有定义的递归函数。其定义为：若存在一种算法（如图灵机），能够针对任意自然数输入在有限步骤内停机并输出结果，则该函数称为全递归函数。与之相对的“部分递归函数”可能在某些输入上无法停机。

从数学形式化角度，全递归函数满足以下特征：

全域性：定义域覆盖全体自然数集$mathbb{N}$；
可计算性：可通过μ递归函数、图灵机或λ演算等模型实现计算；
确定性：输入与输出存在唯一映射关系，符合$f: mathbb{N}^k to mathbb{N}$的严格数学规范。

在计算复杂性分类中，全递归函数构成一般递归函数的真子集。根据Church-Turing论题，所有人类直觉可计算的数论函数均与全递归函数等价，这一结论被广泛引用于可判定性问题的研究中。

权威文献如《可计算性与逻辑》（Computability and Logic）和《斯坦福哲学百科全书》均指出，全递归函数与原始递归函数的关键差异在于前者允许无界μ算子（即搜索运算），但需保证搜索过程必然终止。这种性质使其能表达更复杂的计算问题，例如素数判定函数：

$$ text{Prime}(n) = begin{cases} 1 & text{若}ntext{为素数} 0 & text{否则} end{cases} $$

该函数可通过验证$2$到$sqrt{n}$范围内是否存在因数来实现全递归性。

网络扩展解释

“全递归函数”是递归论（可计算性理论）中的一个核心概念，指在所有输入上都有定义的递归函数。以下是详细解释：

1. 定义与基本性质

全递归函数是处处定义的递归函数，即对于每一个可能的输入值，该函数都能在有限步骤内终止并给出计算结果。它与“部分递归函数”形成对比——后者可能在部分输入上无法终止（即计算结果未定义）。

数学上，全递归函数属于可计算函数的范畴，符合Church-Turing论题：任何全递归函数都可以被图灵机计算，且图灵机在所有输入上停机。

2. 构造方式

全递归函数通过以下基本运算构建：

初始函数：零函数、后继函数、投影函数；
组合：将已有函数组合为新函数；
原始递归：通过递归模式定义新函数；
μ算子（极小化）：找到使某谓词成立的最小输入值。

例如，加法函数可通过原始递归定义为全递归函数： $$ begin{aligned} text{add}(x, 0) &= x, text{add}(x, y+1) &= text{succ}(text{add}(x, y)) end{aligned} $$

3. 与部分递归函数的关系

部分递归函数：可能在某些输入上无定义（即计算不终止），例如尝试解停机问题的函数。
全递归函数：是部分递归函数的真子集，要求所有输入必须终止。例如阶乘函数、斐波那契数列均为全递归函数。

4. 不可判定性与示例

著名的停机问题揭示了全递归函数的局限性：判断“某个部分递归函数是否为全递归函数”是不可判定的，即不存在一个全递归函数能对此做出判定。

提示

由于术语在不同文献中可能有细微差异，若您遇到具体定义矛盾，建议结合上下文或提供更多背景信息以便更精准解释。