齊次邊界條件英文解釋翻譯、齊次邊界條件的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 homogeneous boundary condition

分詞翻譯：

齊的英語翻譯：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【醫】 trans-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

邊界條件的英語翻譯：

【計】 boundary condition
【化】 boundary condition

專業解析

在數學物理方程與偏微分方程理論中，齊次邊界條件（Homogeneous Boundary Conditions）是指邊界上的約束條件等于零的形式。其核心特征是方程在邊界上的取值不包含非零的常數項或非齊次項，從而簡化問題的求解過程。

定義與數學表達

設未知函數 ( u ) 定義在區域 (Omega) 上，邊界為 (partialOmega)。常見的齊次邊界條件包括：

齊次狄利克雷條件（Dirichlet）：
( u(mathbf{x}) = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

表示邊界上的函數值恒為零。

齊次諾伊曼條件（Neumann）：
( frac{partial u}{partial n}(mathbf{x}) = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

表示邊界上的法向導數為零，即無通量。

齊次羅賓條件（Robin）：
( a u + b frac{partial u}{partial n} = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

為前兩者的線性組合，系數滿足特定關系時齊次。

術語解析

“齊次”（Homogeneous）：源于數學術語，指方程或條件中不含與未知函數無關的常數項（非齊次項）。邊界條件中“齊次”即要求邊界約束為零值形式。
邊界條件（Boundary Conditions）：描述物理系統在空間邊界上的狀态，如固定溫度（Dirichlet）、絕熱（Neumann）等。

應用意義

齊次邊界條件在分離變量法、特征函數展開等解析方法中至關重要：

簡化求解：與非齊次條件相比，齊次條件可直接構造滿足邊界條件的特征函數系（如傅裡葉級數）。
疊加原理適用性：齊次邊界下，線性方程的解可表示為特解疊加，為格林函數法提供基礎。

權威參考

《數學物理方法》（Mathematical Methods for Physicists）
詳細讨論齊次邊界條件在波動方程、熱傳導方程中的應用（參見章節：Sturm-Liouville理論）。

MIT OpenCourseWare: 偏微分方程導論
課程講義明确區分齊次與非齊次邊界條件在初邊值問題中的處理方法。

Wolfram MathWorld: Boundary Conditions
定義齊次邊界條件并對比其與非齊次形式的數學差異。

示例說明

考慮一維熱傳導方程： $$ frac{partial u}{partial t} = k frac{partial u}{partial x}, quad 0 < x < L $$ 若兩端溫度固定為零（齊次Dirichlet條件）： $$ u(0,t) = 0, quad u(L,t) = 0 $$ 則解可展開為正弦級數 ( u(x,t) = sum_{n=1}^{infty} B_n sinleft(frac{npi x}{L}right) e^{-k(npi/L) t} )，體現齊次邊界對解結構的決定性作用。

網絡擴展解釋

齊次邊界條件是數學物理方程中描述邊界特性的一類條件，其核心特征為邊界條件表達式中的未知函數或其導數的項通過化簡後右側為零。以下是詳細解釋：

1.基本定義

齊次邊界條件指邊界條件表達式可整理為以下形式： $$ text{關于未知函數或導數的線性組合} = 0 $$ 例如：

第一類齊次（Dirichlet）：邊界處未知函數值為零，如 $u(0,t)=0$；
第二類齊次（Neumann）：邊界處未知函數的法向導數為零，如 $frac{partial u}{partial x}Big|_{x=L}=0$；
第三類齊次（Robin）：邊界處未知函數與其導數的線性組合為零，如 $a u + b frac{partial u}{partial x}=0$（$a,b$為常數）。

2.物理意義

隔絕外界作用：例如絕熱邊界（熱流為零）或固定端點（位移為零）；
簡化求解：齊次條件使方程滿足疊加原理，便于使用分離變量法或傅裡葉級數展開。

3.與非齊次邊界條件的對比

類型	齊次邊界條件	非齊次邊界條件
表達式	右側為0（如 $u=0$）	右側非0（如 $u=5$）
物理意義	無外部輸入/輸出	存在外部作用（如加熱、受力）
數學處理	允許疊加解	需通過特解+齊次解組合處理

4.應用場景舉例

熱傳導問題：絕熱邊界（$frac{partial T}{partial x}=0$）屬于第二類齊次條件；
波動方程：弦兩端固定（$u(0,t)=u(L,t)=0$）是第一類齊次條件。

5.數學特性

齊次邊界條件下，若方程本身也是齊次的（如 $frac{partial u}{partial t} = k frac{partial u}{partial x}$），則解可表示為特解的線性疊加，例如： $$ u(x,t) = sum_{n=1}^infty C_n sinleft(frac{npi x}{L}right) e^{-k(npi/L) t} $$ 其中邊界條件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 限定了正弦函數的形式。

如需進一步了解非齊次條件的處理方法（如特解法、格林函數），可參考熱傳導或波動方程的具體案例分析。