齐次边界条件英文解释翻译、齐次边界条件的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 homogeneous boundary condition

分词翻译：

齐的英语翻译：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【医】 trans-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

边界条件的英语翻译：

【计】 boundary condition
【化】 boundary condition

专业解析

在数学物理方程与偏微分方程理论中，齐次边界条件（Homogeneous Boundary Conditions）是指边界上的约束条件等于零的形式。其核心特征是方程在边界上的取值不包含非零的常数项或非齐次项，从而简化问题的求解过程。

定义与数学表达

设未知函数 ( u ) 定义在区域 (Omega) 上，边界为 (partialOmega)。常见的齐次边界条件包括：

齐次狄利克雷条件（Dirichlet）：
( u(mathbf{x}) = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

表示边界上的函数值恒为零。

齐次诺伊曼条件（Neumann）：
( frac{partial u}{partial n}(mathbf{x}) = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

表示边界上的法向导数为零，即无通量。

齐次罗宾条件（Robin）：
( a u + b frac{partial u}{partial n} = 0 quad text{for} quad mathbf{x} in partialOmega )

为前两者的线性组合，系数满足特定关系时齐次。

术语解析

“齐次”（Homogeneous）：源于数学术语，指方程或条件中不含与未知函数无关的常数项（非齐次项）。边界条件中“齐次”即要求边界约束为零值形式。
边界条件（Boundary Conditions）：描述物理系统在空间边界上的状态，如固定温度（Dirichlet）、绝热（Neumann）等。

应用意义

齐次边界条件在分离变量法、特征函数展开等解析方法中至关重要：

简化求解：与非齐次条件相比，齐次条件可直接构造满足边界条件的特征函数系（如傅里叶级数）。
叠加原理适用性：齐次边界下，线性方程的解可表示为特解叠加，为格林函数法提供基础。

权威参考

《数学物理方法》（Mathematical Methods for Physicists）
详细讨论齐次边界条件在波动方程、热传导方程中的应用（参见章节：Sturm-Liouville理论）。

MIT OpenCourseWare: 偏微分方程导论
课程讲义明确区分齐次与非齐次边界条件在初边值问题中的处理方法。

Wolfram MathWorld: Boundary Conditions
定义齐次边界条件并对比其与非齐次形式的数学差异。

示例说明

考虑一维热传导方程： $$ frac{partial u}{partial t} = k frac{partial u}{partial x}, quad 0 < x < L $$ 若两端温度固定为零（齐次Dirichlet条件）： $$ u(0,t) = 0, quad u(L,t) = 0 $$ 则解可展开为正弦级数 ( u(x,t) = sum_{n=1}^{infty} B_n sinleft(frac{npi x}{L}right) e^{-k(npi/L) t} )，体现齐次边界对解结构的决定性作用。

网络扩展解释

齐次边界条件是数学物理方程中描述边界特性的一类条件，其核心特征为边界条件表达式中的未知函数或其导数的项通过化简后右侧为零。以下是详细解释：

1.基本定义

齐次边界条件指边界条件表达式可整理为以下形式： $$ text{关于未知函数或导数的线性组合} = 0 $$ 例如：

第一类齐次（Dirichlet）：边界处未知函数值为零，如 $u(0,t)=0$；
第二类齐次（Neumann）：边界处未知函数的法向导数为零，如 $frac{partial u}{partial x}Big|_{x=L}=0$；
第三类齐次（Robin）：边界处未知函数与其导数的线性组合为零，如 $a u + b frac{partial u}{partial x}=0$（$a,b$为常数）。

2.物理意义

隔绝外界作用：例如绝热边界（热流为零）或固定端点（位移为零）；
简化求解：齐次条件使方程满足叠加原理，便于使用分离变量法或傅里叶级数展开。

3.与非齐次边界条件的对比

类型	齐次边界条件	非齐次边界条件
表达式	右侧为0（如 $u=0$）	右侧非0（如 $u=5$）
物理意义	无外部输入/输出	存在外部作用（如加热、受力）
数学处理	允许叠加解	需通过特解+齐次解组合处理

4.应用场景举例

热传导问题：绝热边界（$frac{partial T}{partial x}=0$）属于第二类齐次条件；
波动方程：弦两端固定（$u(0,t)=u(L,t)=0$）是第一类齐次条件。

5.数学特性

齐次边界条件下，若方程本身也是齐次的（如 $frac{partial u}{partial t} = k frac{partial u}{partial x}$），则解可表示为特解的线性叠加，例如： $$ u(x,t) = sum_{n=1}^infty C_n sinleft(frac{npi x}{L}right) e^{-k(npi/L) t} $$ 其中边界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 限定了正弦函数的形式。

如需进一步了解非齐次条件的处理方法（如特解法、格林函数），可参考热传导或波动方程的具体案例分析。