平方根法英文解釋翻譯、平方根法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 root-squaring method

分詞翻譯：

平方根的英語翻譯：

【計】 quadratic root

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

平方根法（Square Root Method）是數值分析中用于求解對稱正定矩陣線性方程組的一種高效算法，其核心思想是将矩陣分解為下三角矩陣及其轉置的乘積，即Cholesky分解（Cholesky Decomposition）。該方法廣泛應用于工程計算、金融風險建模和信號處理等領域。

1. 數學定義與原理

對于對稱正定矩陣 ( A )，平方根法将其分解為： $$ A = LL^T $$ 其中 ( L ) 是下三角矩陣，對角線元素為正數。通過遞推公式逐行計算 ( L ) 的元素： $$ l{ii} = sqrt{a{ii} - sum{k=1}^{i-1} l{ik}} $$ $$ l{ji} = frac{1}{l{ii}} left( a{ji} - sum{k=1}^{i-1} l{jk} l{ik} right) quad (j > i) $$

2. 應用場景

工程計算：在結構力學中用于求解剛度矩陣的線性方程組。
金融學：協方差矩陣分解以優化投資組合。
統計學：卡爾曼濾波中的協方差更新步驟。

3. 優勢與局限性

優勢：計算複雜度僅為 ( O(n/6) )，比高斯消元法節省一半時間；數值穩定性高。
局限性：僅適用于對稱正定矩陣，若矩陣非正定需改用LDL分解。

參考資料

《數值分析》（Burden & Faires, 第10版）第6章詳細論述了Cholesky分解的實現。
美國國家标準與技術研究院（NIST）數學庫手冊提供了算法代碼示例。
劍橋大學數值線性代數課程材料展示了其在有限元分析中的應用案例。

網絡擴展解釋

平方根法（又稱Cholesky分解法）是一種用于求解對稱正定線性方程組的數值方法，其核心是将對稱正定矩陣分解為一個下三角矩陣與其轉置的乘積。以下是詳細解釋：

1.基本定義

對于對稱正定矩陣 ( A )，存在唯一的分解形式： $$ A = L L^T $$ 其中 ( L ) 是下三角矩陣，對角線元素為正。這種分解稱為Cholesky分解，即平方根法。

2.應用場景

解線性方程組：将 ( Ax = b ) 轉化為兩個三角方程組 ( Ly = b ) 和 ( L^T x = y )，通過前代和回代快速求解。
數值穩定性：相比高斯消元法，平方根法在對稱正定矩陣中具有更好的數值穩定性。
金融工程：用于蒙特卡洛模拟和協方差矩陣分解。

3.分解步驟

以 ( 3 times 3 ) 矩陣為例：

計算第一列：
- ( l{11} = sqrt{a{11}} )
- ( l{i1} = a{i1}/l_{11} quad (i > 1) )
計算後續列（逐列遞推）：
- 對角線元素：( l{jj} = sqrt{a{jj} - sum{k=1}^{j-1} l{jk}} )
- 非對角線元素：( l{ij} = frac{a{ij} - sum{k=1}^{j-1} l{ik}l{jk}}{l{jj}} quad (i > j) )

4.實例演示

設矩陣 ( A = begin{pmatrix} 4 & 2 & 22 & 5 & 32 & 3 & 6 end{pmatrix} )，分解過程為：

( l_{11} = sqrt{4} = 2 )
( l{21} = 2/2 = 1 )，( l{31} = 2/2 = 1 )
( l_{22} = sqrt{5 - 1} = 2 )
( l_{32} = (3 - 1 times 1)/2 = 1 )
( l_{33} = sqrt{6 - 1 - 1} = 2 ) 最終 ( L = begin{pmatrix} 2 & 0 & 01 & 2 & 01 & 1 & 2 end{pmatrix} )。

5.注意事項

條件限制：矩陣必須對稱正定（所有順序主子式大于零）。
計算效率：時間複雜度為 ( O(n/6) )，比高斯消元法快約一半。
數值誤差：分解過程中需注意舍入誤差累積問題。

如果需要進一步了解具體算法實現或擴展應用，可以參考數值分析或線性代數教材的相關章節。