偏微分方程英文解釋翻譯、偏微分方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 partial differential equation

分詞翻譯：

偏的英語翻譯：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【醫】 meta-

微分方程的英語翻譯：

【計】 differential equation

專業解析

偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是數學分析中研究多變量函數關系的重要工具，用于描述物理量隨空間和時間變化的規律。其一般形式可表示為： $$ Fleft(x_1, x_2, ldots, x_n, u, frac{partial u}{partial x_1}, frac{partial u}{partial x_2}, ldots, frac{partial u}{partial x_1}, ldotsright) = 0 $$ 其中$u$是未知函數，$partial u/partial x_i$表示對變量$x_i$的一階偏導數，方程中可能包含高階偏導數。

從應用角度看，偏微分方程可分為三類典型問題：

橢圓型方程（如拉普拉斯方程$ abla u=0$），用于描述穩态現象，例如熱傳導平衡狀态；
抛物型方程（如熱傳導方程$partial u/partial t = alpha abla u$），刻畫含時間變量的擴散過程；
雙曲型方程（如波動方程$partial u/partial t = c abla u$），模拟振動傳播等動力學問題。

在工程領域，Navier-Stokes方程作為流體力學核心方程，其矢量形式可寫為： $$ rholeft(frac{partial mathbf{v}}{partial t} + mathbf{v} cdot abla mathbf{v}right) = - abla p + mu abla mathbf{v} + mathbf{f} $$ 該式完整描述了粘性流體的運動規律。現代數值解法中，有限差分法、有限元法均為求解偏微分方程的有效手段，廣泛應用于氣象預測、結構力學仿真等領域。

（參考文獻：Springer《Mathematics for Engineers》；Cambridge University Press《Partial Differential Equations in Action》；American Mathematical Society《Analysis of PDEs》核心章節）

網絡擴展解釋

以下基于通用知識對“偏微分方程”進行解釋：

偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）

定義：描述多變量函數與其偏導數之間關系的方程，用于刻畫連續系統的物理、工程或自然現象。

核心特點

多變量依賴
涉及未知函數對多個自變量（如時間 (t)、空間 (x,y,z)）的偏導數。例如：
- 熱傳導方程：(frac{partial u}{partial t} = k abla u)（描述溫度隨時間和空間的變化）。
分類
PDE按數學性質分為三類：
- 橢圓型（如拉普拉斯方程 ( abla u = 0)），描述穩态問題（如靜電場的電勢分布）。
- 抛物型（如擴散方程），涉及時間演化的擴散過程。
- 雙曲型（如波動方程 (frac{partial u}{partial t} = c abla u)），描述振動或波動現象。
求解挑戰
- 解析解通常僅對線性、規則邊界的問題存在（如分離變量法）。
- 非線性或複雜幾何問題依賴數值方法（有限元法、有限差分法）。

典型應用領域

物理學：電磁場（麥克斯韋方程）、流體力學（納維-斯托克斯方程）。
工程學：結構應力分析、熱力學仿真。
金融學：期權定價（Black-Scholes方程）。
生物學：種群擴散模型、神經信號傳導。

與常微分方程（ODE）的區别

特征	偏微分方程（PDE）	常微分方程（ODE）
自變量數量	多個（如時間+空間）	單個（如時間）
典型問題	場分布、多維度演化	單變量動态過程
複雜性	通常更高，需處理邊界條件	相對較低

如果需要具體案例或擴展某方面内容，可提供更詳細方向以便補充。