收斂性判據英文解釋翻譯、收斂性判據的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convergence criterion

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【計】 converging
【化】 convergence
【醫】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

criterion
【化】 criterion

在數學和工程領域，"收斂性判據"（Convergence Criterion）指用于判斷一個序列、疊代過程或算法是否趨于穩定極限（收斂）的标準或條件。其核心含義可拆解為：

因此，"收斂性判據"即判斷一個過程或序列是否收斂的檢驗标準或規則。

漢英詞典角度釋義：

收斂性判據 / Shōuliǎn xìng pànjù
- 釋義：判斷數學序列、數值疊代過程或算法是否達到收斂狀态的标準或條件。
- 英文對應： Convergence Criterion (或 Convergence Criteria, 複數形式)
- 英文釋義： A standard or condition used to determine whether a mathematical sequence, iterative numerical process, or algorithm has reached a state of convergence, meaning it is approaching and stabilizing at a specific limit.

關鍵應用領域與常見判據：

數值分析/計算數學：在疊代法求解方程或優化問題時，需要判斷疊代解是否足夠接近真實解。常見判據包括：
- 殘差判據：計算當前疊代解代入方程後的殘差（誤差），當其範數小于預設容差時認為收斂。例如，解線性方程組 Ax=b 時，檢查 ||Ax^(k) - b|| < ε。
- 增量判據：檢查連續兩次疊代解之間的變化量（增量）是否足夠小，即 ||x^(k) - x^(k-1)|| < δ。
- 混合判據：同時考慮殘差和增量。
級數理論：判斷無窮級數是否收斂（其部分和序列有極限）。
- 比較判據：通過與已知收斂或發散級數比較。
- 比值判據：檢查相鄰項比值的極限。
- 根值判據：檢查通項 n 次方根的極限。
- 積分判據：将級數與一個積分比較。
優化算法：判斷優化算法（如梯度下降）是否已找到（或足夠接近）最優解。
- 函數值變化：目标函數值在連續疊代中變化很小。
- 梯度範數：目标函數在當前點的梯度範數接近零（對于無約束優化）。
- KKT 條件：滿足 Karush-Kuhn-Tucker 條件（對于約束優化）。

重要性：收斂性判據是确保數值計算可靠性和算法有效終止的關鍵。選擇合適的判據及其容差（ε, δ）直接影響計算結果的精度和計算效率。

權威參考來源：

《數值分析》教材：如 Burden & Faires 的 Numerical Analysis 或 Kincaid & Cheney 的 Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing 詳細讨論了疊代法的收斂性判據。
《數學分析》教材：如 Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 或 Tom Apostol 的 Mathematical Analysis 系統闡述了級數收斂的各種判據。
優化領域經典著作：如 Nocedal & Wright 的 Numerical Optimization 深入講解了優化算法的收斂性條件。
專業學術數據庫： MathWorld (Wolfram Research) 提供數學術語的權威定義和解釋，例如 "Convergence" 和 "Convergence Tests" 條目。

收斂性判據是數學中用于判斷數列、級數、函數等數學對象是否收斂到某一極限的标準或方法。以下結合不同數學對象的分類進行詳細解釋：

單調有界定理
若數列單調遞增且有上界（或遞減且有下界），則該數列必收斂。例如，數列$a_n = 1 - frac{1}{n}$單調遞增且有上界1，故收斂于1。
柯西收斂準則
數列${a_n}$收斂的充要條件是：對任意$epsilon > 0$，存在正整數$N$，當$m, n > N$時，$|a_m - a_n| < epsilon$。
公式表達為：
$$ forall epsilon > 0, exists N in mathbb{N}, text{當 } m,n > N text{ 時}, |a_m - a_n| < epsilon. $$
夾逼定理
若存在兩個收斂于同一極限的數列${b_n}$和${c_n}$，滿足$b_n leq a_n leq c_n$，則${a_n}$也收斂于該極限。

比較判别法
若存在收斂的正項級數$sum M_n$，使得$|a_n| leq M_n$，則$sum a_n$絕對收斂；若$sum M_n$發散且$|a_n| geq M_n$，則$sum a_n$發散。
比值判别法（達朗貝爾判别法）
若$lim{n to infty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right| = L$，則：
- $L < 1$時級數絕對收斂；
- $L > 1$時級數發散。
根值判别法（柯西判别法）
若$limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} = L$，則：
- $L < 1$時級數絕對收斂；
- $L > 1$時級數發散。

一緻收斂的M判别法（Weierstrass判别法）
若存在收斂的正項級數$sum M_n$，使得對定義域内所有$x$，$|f_n(x)| leq M_n$，則$sum f_n(x)$一緻收斂。
逐點收斂與一緻收斂
- 逐點收斂：對每個$x$，$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$；
- 一緻收斂：對任意$epsilon > 0$，存在與$x$無關的$N$，當$n > N$時，$|f_n(x) - f(x)| < epsilon$對所有$x$成立。

收斂性判據的核心是通過不同方法驗證數學對象是否趨向于有限極限。具體應用中需根據對象類型（數列、級數、函數等）選擇合適的判據，并結合實際場景分析。