收敛性判据英文解释翻译、收敛性判据的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convergence criterion

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【计】 converging
【化】 convergence
【医】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

criterion
【化】 criterion

在数学和工程领域，"收敛性判据"（Convergence Criterion）指用于判断一个序列、迭代过程或算法是否趋于稳定极限（收敛）的标准或条件。其核心含义可拆解为：

因此，"收敛性判据"即判断一个过程或序列是否收敛的检验标准或规则。

汉英词典角度释义：

收敛性判据 / Shōuliǎn xìng pànjù
- 释义：判断数学序列、数值迭代过程或算法是否达到收敛状态的标准或条件。
- 英文对应： Convergence Criterion (或 Convergence Criteria, 复数形式)
- 英文释义： A standard or condition used to determine whether a mathematical sequence, iterative numerical process, or algorithm has reached a state of convergence, meaning it is approaching and stabilizing at a specific limit.

关键应用领域与常见判据：

数值分析/计算数学：在迭代法求解方程或优化问题时，需要判断迭代解是否足够接近真实解。常见判据包括：
- 残差判据：计算当前迭代解代入方程后的残差（误差），当其范数小于预设容差时认为收敛。例如，解线性方程组 Ax=b 时，检查 ||Ax^(k) - b|| < ε。
- 增量判据：检查连续两次迭代解之间的变化量（增量）是否足够小，即 ||x^(k) - x^(k-1)|| < δ。
- 混合判据：同时考虑残差和增量。
级数理论：判断无穷级数是否收敛（其部分和序列有极限）。
- 比较判据：通过与已知收敛或发散级数比较。
- 比值判据：检查相邻项比值的极限。
- 根值判据：检查通项 n 次方根的极限。
- 积分判据：将级数与一个积分比较。
优化算法：判断优化算法（如梯度下降）是否已找到（或足够接近）最优解。
- 函数值变化：目标函数值在连续迭代中变化很小。
- 梯度范数：目标函数在当前点的梯度范数接近零（对于无约束优化）。
- KKT 条件：满足 Karush-Kuhn-Tucker 条件（对于约束优化）。

重要性：收敛性判据是确保数值计算可靠性和算法有效终止的关键。选择合适的判据及其容差（ε, δ）直接影响计算结果的精度和计算效率。

权威参考来源：

《数值分析》教材：如 Burden & Faires 的 Numerical Analysis 或 Kincaid & Cheney 的 Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing 详细讨论了迭代法的收敛性判据。
《数学分析》教材：如 Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 或 Tom Apostol 的 Mathematical Analysis 系统阐述了级数收敛的各种判据。
优化领域经典著作：如 Nocedal & Wright 的 Numerical Optimization 深入讲解了优化算法的收敛性条件。
专业学术数据库： MathWorld (Wolfram Research) 提供数学术语的权威定义和解释，例如 "Convergence" 和 "Convergence Tests" 条目。

收敛性判据是数学中用于判断数列、级数、函数等数学对象是否收敛到某一极限的标准或方法。以下结合不同数学对象的分类进行详细解释：

单调有界定理
若数列单调递增且有上界（或递减且有下界），则该数列必收敛。例如，数列$a_n = 1 - frac{1}{n}$单调递增且有上界1，故收敛于1。
柯西收敛准则
数列${a_n}$收敛的充要条件是：对任意$epsilon > 0$，存在正整数$N$，当$m, n > N$时，$|a_m - a_n| < epsilon$。
公式表达为：
$$ forall epsilon > 0, exists N in mathbb{N}, text{当 } m,n > N text{ 时}, |a_m - a_n| < epsilon. $$
夹逼定理
若存在两个收敛于同一极限的数列${b_n}$和${c_n}$，满足$b_n leq a_n leq c_n$，则${a_n}$也收敛于该极限。

比较判别法
若存在收敛的正项级数$sum M_n$，使得$|a_n| leq M_n$，则$sum a_n$绝对收敛；若$sum M_n$发散且$|a_n| geq M_n$，则$sum a_n$发散。
比值判别法（达朗贝尔判别法）
若$lim{n to infty} left| frac{a{n+1}}{a_n} right| = L$，则：
- $L < 1$时级数绝对收敛；
- $L > 1$时级数发散。
根值判别法（柯西判别法）
若$limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} = L$，则：
- $L < 1$时级数绝对收敛；
- $L > 1$时级数发散。

一致收敛的M判别法（Weierstrass判别法）
若存在收敛的正项级数$sum M_n$，使得对定义域内所有$x$，$|f_n(x)| leq M_n$，则$sum f_n(x)$一致收敛。
逐点收敛与一致收敛
- 逐点收敛：对每个$x$，$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$；
- 一致收敛：对任意$epsilon > 0$，存在与$x$无关的$N$，当$n > N$时，$|f_n(x) - f(x)| < epsilon$对所有$x$成立。

收敛性判据的核心是通过不同方法验证数学对象是否趋向于有限极限。具体应用中需根据对象类型（数列、级数、函数等）选择合适的判据，并结合实际场景分析。