semigroup是什麼意思，semigroup的意思翻譯、用法、同義詞、例句

semigroup英标

英:/''semɪɡruːp/ 美:/',semaɪɡrʊp/

常用詞典

例句

專業解析

半群（Semigroup）是抽象代數中的一個基本概念，指滿足特定運算規則的代數結構。其核心定義和特性如下：

一、數學定義

一個非空集合 ( S ) 配備一個二元運算 ( cdot )（通常稱為“乘法”），若該運算滿足結合律，即對任意元素 ( a, b, c in S ) 均有： $$ (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c) $$ 則稱 ( (S, cdot) ) 構成一個半群。半群不要求存在單位元或逆元，這是它與群（Group）的主要區别。

二、核心特性

1. 封閉性：運算結果仍在集合内（由二元運算定義隱含）。
2. 結合律：運算順序不影響結果，是半群的核心性質。
3. 典型示例：
   • 正整數集合 ( mathbb{Z}^+ ) 配備加法或乘法運算（無單位元）。
   • 所有 ( n times n ) 矩陣配備矩陣乘法（不要求可逆）。
   • 計算機科學中的字符串連接運算。

三、與群的區别

半群是群的推廣，但不要求：

• 單位元（Identity）：存在元素 ( e ) 使得 ( e cdot a = a cdot e = a )。
• 逆元（Inverse）：對任意 ( a ) 存在 ( b ) 使得 ( a cdot b = b cdot a = e )。

四、應用領域

1. 理論計算機科學：形式語言與自動機理論中，半群描述狀态轉移或符號組合規則。
2. 泛函分析：算子半群用于研究偏微分方程的時間演化。
3. 組合數學：序列的組合結構常通過半群建模。

五、子結構與擴展

• 子半群：子集在相同運算下仍滿足結合律。
• 幺半群（Monoid）：添加單位元約束的半群（如非負整數加法）。
• 半群同态：保持運算結構的映射 ( f: S to T )（即 ( f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) )）。

權威參考來源：

• 代數結構基礎（Springer數學教材），定義與示例部分。
• 泛函分析中的算子半群（學術專著），應用章節。
• 自動機與形式語言理論（MIT課程講義），半群在計算機科學中的角色。

網絡擴展資料

以下基于通用知識解釋“semigroup”的含義：

數學定義
在抽象代數中，semigroup（半群）指一個非空集合 ( S )，配備一個滿足結合律的二元運算 ( cdot )，即對任意 ( a, b, c in S )，有：
$$
(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)
$$
與群（group）的區别在于，半群不要求存在單位元，也不要求每個元素有逆元。

關鍵特性

1. 必須滿足結合律：運算是可結合的，但未必可交換。
2. 無單位元要求：若存在單位元，則稱為幺半群（monoid）。
3. 應用廣泛：常見于形式語言、自動機理論、函數式編程（如列表連接操作）等領域。

示例

• 正整數集合 ( mathbb{N}^+ ) 在加法下構成半群（但非群，因無單位元0）。
• 所有字符串在連接運算下形成半群（若包含空字符串則為幺半群）。

若需進一步了解具體應用場景或相關定理，建議參考抽象代數教材或數學文獻。

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