垂线足的意思、垂线足的详细解释

垂线足的解释

一条直线与另一条直线或平面垂直相交的交点。亦称“ 垂足 ”。

词语分解

• 垂的解释 垂 í 东西一头挂下：垂杨柳。垂钓。垂直。垂线。垂手（ａ．表示容易；ｂ．表示恭敬）。垂泪。垂髫（头发下垂，指儿童）。垂头丧气。 敬辞，用于别人（多是长辈或上级）对自己的行动：垂爱。垂怜。垂询。 传下去

专业解析

垂线足是几何学中的基础概念，指从空间一点向某条直线或平面作垂线时，垂线与该直线或平面的交点。这一术语在解析几何与立体几何中广泛应用，用于描述点与线、点与面之间的垂直关系。例如，在平面直角坐标系中，若点( P(x_0,y_0) )到直线( ax+by+c=0 )的垂线足坐标为： $$ left( frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a + b}, frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a + b} right) $$ 其推导过程可通过向量投影或代数方法实现（参考来源：中国国家教育资源公共服务平台基础几何课程）。

在三维空间中，垂线足的概念延伸至点与平面、点与曲面的关系。例如，点( (x_1,y_1,z_1) )到平面( Ax+By+Cz+D=0 )的垂线足坐标公式为： $$ left( x_1 - Afrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C}, quad y_1 - Bfrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C}, quad z_1 - Cfrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C} right) $$ 该公式在工程制图与计算机图形学中有重要应用（参考来源：高等教育出版社《空间解析几何》第5版）。

网络扩展解释

“垂线足”是一个几何学术语，指从某一点向一条直线、平面或曲面作垂线时，垂线与该直线、平面或曲面的交点。这个概念通常用于计算点到直线或平面的最短距离。

关键解释：

1. 定义
   垂线足是垂线的“落脚点”。例如，从点P向直线L作垂线，垂线与L的交点Q即为垂线足（如图示）。此时，PQ的长度就是点P到直线L的最短距离。

2. 数学意义
   垂线足是点投影到目标几何对象上的结果。在坐标系中，若直线L的方程为$ax + by + c = 0$，点P坐标为$(x_0, y_0)$，则垂线足Q的坐标可通过公式计算： $$ Qleft( frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a + b}, frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a + b} right) $$

3. 应用场景

   • 距离计算：如点到直线的距离公式推导。
   • 几何作图：在工程制图中确定垂直投影。
   • 三维扩展：点到平面的垂线足同理，用于三维空间中的投影计算。

示例说明

若点P为$(3,4)$，直线L为$x$轴（方程$y=0$），则垂线足是$(3,0)$，最短距离为4个单位。

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