垂線足的意思、垂線足的詳細解釋

垂線足的解釋

一條直線與另一條直線或平面垂直相交的交點。亦稱“ 垂足 ”。

詞語分解

• 垂的解釋 垂 í 東西一頭挂下：垂楊柳。垂釣。垂直。垂線。垂手（ａ．表示容易；ｂ．表示恭敬）。垂淚。垂髫（頭發下垂，指兒童）。垂頭喪氣。 敬辭，用于别人（多是長輩或上級）對自己的行動：垂愛。垂憐。垂詢。 傳下去

專業解析

垂線足是幾何學中的基礎概念，指從空間一點向某條直線或平面作垂線時，垂線與該直線或平面的交點。這一術語在解析幾何與立體幾何中廣泛應用，用于描述點與線、點與面之間的垂直關系。例如，在平面直角坐标系中，若點( P(x_0,y_0) )到直線( ax+by+c=0 )的垂線足坐标為： $$ left( frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a + b}, frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a + b} right) $$ 其推導過程可通過向量投影或代數方法實現（參考來源：中國國家教育資源公共服務平台基礎幾何課程）。

在三維空間中，垂線足的概念延伸至點與平面、點與曲面的關系。例如，點( (x_1,y_1,z_1) )到平面( Ax+By+Cz+D=0 )的垂線足坐标公式為： $$ left( x_1 - Afrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C}, quad y_1 - Bfrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C}, quad z_1 - Cfrac{Ax_1+By_1+Cz_1+D}{A+B+C} right) $$ 該公式在工程制圖與計算機圖形學中有重要應用（參考來源：高等教育出版社《空間解析幾何》第5版）。

網絡擴展解釋

“垂線足”是一個幾何學術語，指從某一點向一條直線、平面或曲面作垂線時，垂線與該直線、平面或曲面的交點。這個概念通常用于計算點到直線或平面的最短距離。

關鍵解釋：

1. 定義
   垂線足是垂線的“落腳點”。例如，從點P向直線L作垂線，垂線與L的交點Q即為垂線足（如圖示）。此時，PQ的長度就是點P到直線L的最短距離。

2. 數學意義
   垂線足是點投影到目标幾何對象上的結果。在坐标系中，若直線L的方程為$ax + by + c = 0$，點P坐标為$(x_0, y_0)$，則垂線足Q的坐标可通過公式計算： $$ Qleft( frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a + b}, frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a + b} right) $$

3. 應用場景

   • 距離計算：如點到直線的距離公式推導。
   • 幾何作圖：在工程制圖中确定垂直投影。
   • 三維擴展：點到平面的垂線足同理，用于三維空間中的投影計算。

示例說明

若點P為$(3,4)$，直線L為$x$軸（方程$y=0$），則垂線足是$(3,0)$，最短距離為4個單位。

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