高斯消去法英文解释翻译、高斯消去法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Gaussian elimination

分词翻译：

高的英语翻译：

high; high-priced; lofty; loud; tall
【医】 homo-; hyper-; hypsi-; hypso-; per-

斯的英语翻译：

this
【化】 geepound

消去法的英语翻译：

【计】 elimination method; subtractive process

专业解析

高斯消去法（Gaussian Elimination）是一种用于求解线性方程组的系统性算法，其核心目标是通过初等行变换将系数矩阵转换为上三角矩阵或简化行阶梯形矩阵，从而简化方程求解过程。该方法是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪提出的基础数值分析技术。

核心步骤与汉英术语对照

构造增广矩阵（Augmented Matrix）
将线性方程组的系数矩阵与常数项合并为增广矩阵，例如：

$$

begin{bmatrix}

a{11} & a{12} & cdots & b1

a{21} & a_{22} & cdots & b_2

vdots & vdots & ddots & vdots

end{bmatrix}

$$

这一步骤对应中文术语“增广矩阵构造”，英文为 augmented matrix formation。
前向消元（Forward Elimination）
通过行交换、数乘和行加减操作，逐列消去主元下方的非零元素，形成上三角矩阵。例如，消去第二行第一列元素：

$$

R2 leftarrow R2 - frac{a{21}}{a{11}}R_1

$$

中文称“前向消去”，英文为 forward elimination。
回代求解（Back Substitution）
从最后一行开始，逐步代入已求变量值，解出未知数。例如，解第$n$个变量：

$$

x_n = frac{bn}{a{nn}}

$$

中文称“回代法”，英文为 back substitution。

应用领域与权威参考

高斯消去法广泛应用于工程计算（如电路分析）、经济学模型优化和计算机图形学中的坐标变换。其稳定性分析可参考《数值线性代数》（Numerical Linear Algebra by Lloyd N. Trefethen）及国际数学联盟（IMU）发布的线性代数标准教材。

网络扩展解释

高斯消去法（Gaussian Elimination）是解线性方程组的一种经典算法，其核心思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求解未知数。以下是详细解释：

1. 基本步骤

分为两个阶段：

前向消元
通过行交换、数乘和行加减操作，将原方程组转化为上三角形式。例如，第(k)步消元时，对第(i)行（(i > k)）的操作可表示为：
$$ a{ij} = a{ij} - frac{a{ik}}{a{kk}} cdot a_{kj} quad (j geq k) $$
目标是使主对角线下方元素变为零。
回代求解
从最后一个方程开始，依次代入已求出的未知数值，最终解出所有变量。例如，第(n)个变量为：
$$ x_n = frac{bn}{a{nn}} $$
再依次计算(x{n-1}, x{n-2}, ldots, x_1)。

2. 关键特点

选主元策略
为避免除以零或减小舍入误差，常使用列主元消去法（交换当前列中绝对值最大的行到主元位置）。
时间复杂度
为(O(n))，适用于中小规模方程组。
数值稳定性
未选主元的朴素高斯消去法可能因舍入误差导致结果不准确。

3. 应用场景

工程计算（如电路分析、结构力学）。
计算机图形学中的坐标变换。
其他数值方法（如矩阵求逆、行列式计算）的基础。

4. 与高斯-约当法的区别

高斯-约当法通过进一步消元将矩阵化为行最简形（对角矩阵），无需回代，但计算量更大。

如果需要具体示例或更深入的数值分析细节，可以进一步说明！