高斯消去法英文解釋翻譯、高斯消去法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Gaussian elimination

分詞翻譯：

高的英語翻譯：

high; high-priced; lofty; loud; tall
【醫】 homo-; hyper-; hypsi-; hypso-; per-

斯的英語翻譯：

this
【化】 geepound

消去法的英語翻譯：

【計】 elimination method; subtractive process

專業解析

高斯消去法（Gaussian Elimination）是一種用于求解線性方程組的系統性算法，其核心目标是通過初等行變換将系數矩陣轉換為上三角矩陣或簡化行階梯形矩陣，從而簡化方程求解過程。該方法是德國數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世紀提出的基礎數值分析技術。

核心步驟與漢英術語對照

構造增廣矩陣（Augmented Matrix）
将線性方程組的系數矩陣與常數項合并為增廣矩陣，例如：

$$

begin{bmatrix}

a{11} & a{12} & cdots & b1

a{21} & a_{22} & cdots & b_2

vdots & vdots & ddots & vdots

end{bmatrix}

$$

這一步驟對應中文術語“增廣矩陣構造”，英文為 augmented matrix formation。
前向消元（Forward Elimination）
通過行交換、數乘和行加減操作，逐列消去主元下方的非零元素，形成上三角矩陣。例如，消去第二行第一列元素：

$$

R2 leftarrow R2 - frac{a{21}}{a{11}}R_1

$$

中文稱“前向消去”，英文為 forward elimination。
回代求解（Back Substitution）
從最後一行開始，逐步代入已求變量值，解出未知數。例如，解第$n$個變量：

$$

x_n = frac{bn}{a{nn}}

$$

中文稱“回代法”，英文為 back substitution。

應用領域與權威參考

高斯消去法廣泛應用于工程計算（如電路分析）、經濟學模型優化和計算機圖形學中的坐标變換。其穩定性分析可參考《數值線性代數》（Numerical Linear Algebra by Lloyd N. Trefethen）及國際數學聯盟（IMU）發布的線性代數标準教材。

網絡擴展解釋

高斯消去法（Gaussian Elimination）是解線性方程組的一種經典算法，其核心思想是通過行變換将系數矩陣化為上三角矩陣，再通過回代求解未知數。以下是詳細解釋：

1. 基本步驟

分為兩個階段：

前向消元
通過行交換、數乘和行加減操作，将原方程組轉化為上三角形式。例如，第(k)步消元時，對第(i)行（(i > k)）的操作可表示為：
$$ a{ij} = a{ij} - frac{a{ik}}{a{kk}} cdot a_{kj} quad (j geq k) $$
目标是使主對角線下方元素變為零。
回代求解
從最後一個方程開始，依次代入已求出的未知數值，最終解出所有變量。例如，第(n)個變量為：
$$ x_n = frac{bn}{a{nn}} $$
再依次計算(x{n-1}, x{n-2}, ldots, x_1)。

2. 關鍵特點

選主元策略
為避免除以零或減小舍入誤差，常使用列主元消去法（交換當前列中絕對值最大的行到主元位置）。
時間複雜度
為(O(n))，適用于中小規模方程組。
數值穩定性
未選主元的樸素高斯消去法可能因舍入誤差導緻結果不準确。

3. 應用場景

工程計算（如電路分析、結構力學）。
計算機圖形學中的坐标變換。
其他數值方法（如矩陣求逆、行列式計算）的基礎。

4. 與高斯-約當法的區别

高斯-約當法通過進一步消元将矩陣化為行最簡形（對角矩陣），無需回代，但計算量更大。

如果需要具體示例或更深入的數值分析細節，可以進一步說明！