半范数英文解释翻译、半范数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 seminorm

分词翻译：

半的英语翻译：

half; in the middle; semi-
【计】 semi
【医】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【经】 quasi

范的英语翻译：

model; pattern

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

在数学的泛函分析领域，半范数（Seminorm）是一个重要的概念，它推广了范数的定义，但弱化了范数必须满足的“正定性”条件。以下是其详细解释：

一、核心定义与数学表达半范数是在向量空间（通常是实数域或复数域上的向量空间）上定义的一个实值函数 ( p: V to mathbb{R} )，它满足以下两条公理：

次可加性/三角不等式 (Subadditivity / Triangle Inequality)： [ p(mathbf{x} + mathbf{y}) leq p(mathbf{x}) + p(mathbf{y}) quad forall mathbf{x}, mathbf{y} in V ]
绝对齐次性 (Absolute Homogeneity)： [ p(alpha mathbf{x}) = |alpha| p(mathbf{x}) quad forall mathbf{x} in V, forall alpha in mathbb{R} text{ (or } mathbb{C}text{)} ]

关键区别：与范数 (Norm) 不同，半范数不要求满足第三条公理： 3. 正定性 (Positive Definiteness)： [ p(mathbf{x}) = 0 implies mathbf{x} = mathbf{0} ] 对于半范数，可能存在非零向量 (mathbf{x} eq mathbf{0}) 使得 (p(mathbf{x}) = 0)。所有满足 (p(mathbf{x}) = 0) 的向量构成一个子空间，称为该半范数的核 (Kernel)。

二、汉英术语对照与理解

半范数 (bàn fànshù)：Seminorm /ˈsɛmɪˌnɔːrm/。前缀 “semi-” 表示“一半的”或“部分的”，表明它只具备范数的部分性质（缺少严格的正定性）。
范数 (fànshù)：Norm /nɔːrm/。作为比较基准，范数要求向量空间中的零向量是唯一满足 (p(mathbf{x}) = 0) 的向量。
次可加性 (cì kě jiā xìng)：Subadditivity。指函数值对向量加法的响应满足不等式约束。
绝对齐次性 (juéduì qí cì xìng)：Absolute Homogeneity。指函数值对标量乘法的响应仅取决于标量的绝对值（或模）。
核 (hé)：Kernel。指被半范数“视为零”（赋值为零）的所有向量构成的集合。

三、性质与意义

非负性 (Non-negativity)：由定义可推导出 (p(mathbf{x}) geq 0) 对所有 (mathbf{x} in V) 成立。
诱导商空间范数：在商空间 (V / N)（其中 (N = { mathbf{x} in V mid p(mathbf{x}) = 0 }) 是核）上，半范数 (p) 可以自然地诱导出一个真正的范数 (|mathbf{x} + N| := p(mathbf{x}))。
局部凸空间基础：半范数族是定义局部凸拓扑向量空间 (Locally Convex Topological Vector Spaces) 的基础工具。一族半范数可以定义向量空间上的一个拓扑，使其成为局部凸空间。
弱拓扑工具：在赋范空间的对偶空间研究中，半范数用于定义弱拓扑 (Weak Topology) 和弱拓扑 (Weak- Topology)。

四、典型应用场景

函数空间：例如，在空间 (C(Omega))（(Omega) 上连续函数空间）上，定义 (pK(f) = sup{x in K} |f(x)|)（其中 (K subset Omega) 是紧集），这是一个半范数（当 (K) 不是整个 (Omega) 时，非零函数在 (K) 上可能恒为零）。
Sobolev空间：在定义Sobolev空间 (H^k(Omega)) 时，涉及积分形式的半范数（如 (|D^alpha u|_{L(Omega)}) 对 (|alpha|=k)）。
优化与逼近理论：半范数常作为约束条件或目标函数的一部分。
凸分析：半范数与凸集、凸锥有密切联系。

参考文献 (权威来源)：

Rudin, W. (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. - 泛函分析经典教材，对半范数、局部凸空间有系统阐述。 (ISBN: 978-0070542365)
Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis (2nd ed.). Springer-Verlag. - 标准研究生教材，清晰介绍半范数及其在拓扑向量空间中的作用。 (ISBN: 978-0-387-97245-9)
Reed, M., & Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis (Rev. ed.). Academic Press. - 数学物理方法权威著作，包含半范数的实用讨论。 (ISBN: 978-0125850506)

网络扩展解释

半范数是范数的一种推广形式，它在数学（尤其是泛函分析）中用于描述向量空间中元素的“广义长度”，但比范数的要求更宽松。以下是详细解释：

1.基本定义

半范数是一个定义在线性空间( X )上的非负实值函数( p )，满足以下三个条件：

正值齐次性：( p(ax) = |a| cdot p(x) )（对任意标量( a )和向量( x )）；
三角不等式：( p(x+y) leq p(x) + p(y) )（对任意向量( x, y )）；
非负性：( p(x) geq 0 )。

与范数相比，半范数缺少正定性，即( p(x) = 0 )并不一定能推出( x = 0 )（可能存在非零元素的半范数为零）。

2.与范数的区别

范数要求严格的正定性：若( p(x)=0 )，则( x )必须是零向量。
半范数允许非零元素满足( p(x)=0 )。例如，平凡半范数( p(x)=0 )对所有( x )成立。

3.性质与应用

局部凸空间：半范数族可定义局部凸线性空间的拓扑结构（如分离公理），这类空间在分析中广泛应用。
均衡吸收凸子集：半范数常通过Minkowski泛函与这类集合关联，用于研究空间的几何性质。
控制理论：在H∞控制理论中，半范数用于描述系统传递函数的优化指标。

4.例子

平凡半范数：对所有向量定义( p(x) = 0 )，显然满足半范数条件。
函数空间半范数：在连续函数空间上，定义( p(f) = |f(0)| )，此时( p(f)=0 )并不要求( f )在所有点为零。

半范数通过放宽范数的正定性条件，扩展了其在拓扑线性空间和优化问题中的应用场景。它在描述局部凸空间、构建广义度量框架等方面具有重要作用。