半範數英文解釋翻譯、半範數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 seminorm

分詞翻譯：

半的英語翻譯：

half; in the middle; semi-
【計】 semi
【醫】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【經】 quasi

範的英語翻譯：

model; pattern

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

在數學的泛函分析領域，半範數（Seminorm）是一個重要的概念，它推廣了範數的定義，但弱化了範數必須滿足的“正定性”條件。以下是其詳細解釋：

一、核心定義與數學表達半範數是在向量空間（通常是實數域或複數域上的向量空間）上定義的一個實值函數 ( p: V to mathbb{R} )，它滿足以下兩條公理：

次可加性/三角不等式 (Subadditivity / Triangle Inequality)： [ p(mathbf{x} + mathbf{y}) leq p(mathbf{x}) + p(mathbf{y}) quad forall mathbf{x}, mathbf{y} in V ]
絕對齊次性 (Absolute Homogeneity)： [ p(alpha mathbf{x}) = |alpha| p(mathbf{x}) quad forall mathbf{x} in V, forall alpha in mathbb{R} text{ (or } mathbb{C}text{)} ]

關鍵區别：與範數 (Norm) 不同，半範數不要求滿足第三條公理： 3. 正定性 (Positive Definiteness)： [ p(mathbf{x}) = 0 implies mathbf{x} = mathbf{0} ] 對于半範數，可能存在非零向量 (mathbf{x} eq mathbf{0}) 使得 (p(mathbf{x}) = 0)。所有滿足 (p(mathbf{x}) = 0) 的向量構成一個子空間，稱為該半範數的核 (Kernel)。

二、漢英術語對照與理解

半範數 (bàn fànshù)：Seminorm /ˈsɛmɪˌnɔːrm/。前綴 “semi-” 表示“一半的”或“部分的”，表明它隻具備範數的部分性質（缺少嚴格的正定性）。
範數 (fànshù)：Norm /nɔːrm/。作為比較基準，範數要求向量空間中的零向量是唯一滿足 (p(mathbf{x}) = 0) 的向量。
次可加性 (cì kě jiā xìng)：Subadditivity。指函數值對向量加法的響應滿足不等式約束。
絕對齊次性 (juéduì qí cì xìng)：Absolute Homogeneity。指函數值對标量乘法的響應僅取決于标量的絕對值（或模）。
核 (hé)：Kernel。指被半範數“視為零”（賦值為零）的所有向量構成的集合。

三、性質與意義

非負性 (Non-negativity)：由定義可推導出 (p(mathbf{x}) geq 0) 對所有 (mathbf{x} in V) 成立。
誘導商空間範數：在商空間 (V / N)（其中 (N = { mathbf{x} in V mid p(mathbf{x}) = 0 }) 是核）上，半範數 (p) 可以自然地誘導出一個真正的範數 (|mathbf{x} + N| := p(mathbf{x}))。
局部凸空間基礎：半範數族是定義局部凸拓撲向量空間 (Locally Convex Topological Vector Spaces) 的基礎工具。一族半範數可以定義向量空間上的一個拓撲，使其成為局部凸空間。
弱拓撲工具：在賦範空間的對偶空間研究中，半範數用于定義弱拓撲 (Weak Topology) 和弱拓撲 (Weak- Topology)。

四、典型應用場景

函數空間：例如，在空間 (C(Omega))（(Omega) 上連續函數空間）上，定義 (pK(f) = sup{x in K} |f(x)|)（其中 (K subset Omega) 是緊集），這是一個半範數（當 (K) 不是整個 (Omega) 時，非零函數在 (K) 上可能恒為零）。
Sobolev空間：在定義Sobolev空間 (H^k(Omega)) 時，涉及積分形式的半範數（如 (|D^alpha u|_{L(Omega)}) 對 (|alpha|=k)）。
優化與逼近理論：半範數常作為約束條件或目标函數的一部分。
凸分析：半範數與凸集、凸錐有密切聯繫。

參考文獻 (權威來源)：

Rudin, W. (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. - 泛函分析經典教材，對半範數、局部凸空間有系統闡述。 (ISBN: 978-0070542365)
Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis (2nd ed.). Springer-Verlag. - 标準研究生教材，清晰介紹半範數及其在拓撲向量空間中的作用。 (ISBN: 978-0-387-97245-9)
Reed, M., & Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis (Rev. ed.). Academic Press. - 數學物理方法權威著作，包含半範數的實用讨論。 (ISBN: 978-0125850506)

網絡擴展解釋

半範數是範數的一種推廣形式，它在數學（尤其是泛函分析）中用于描述向量空間中元素的“廣義長度”，但比範數的要求更寬松。以下是詳細解釋：

1.基本定義

半範數是一個定義線上性空間( X )上的非負實值函數( p )，滿足以下三個條件：

正值齊次性：( p(ax) = |a| cdot p(x) )（對任意标量( a )和向量( x )）；
三角不等式：( p(x+y) leq p(x) + p(y) )（對任意向量( x, y )）；
非負性：( p(x) geq 0 )。

與範數相比，半範數缺少正定性，即( p(x) = 0 )并不一定能推出( x = 0 )（可能存在非零元素的半範數為零）。

2.與範數的區别

範數要求嚴格的正定性：若( p(x)=0 )，則( x )必須是零向量。
半範數允許非零元素滿足( p(x)=0 )。例如，平凡半範數( p(x)=0 )對所有( x )成立。

3.性質與應用

局部凸空間：半範數族可定義局部凸線性空間的拓撲結構（如分離公理），這類空間在分析中廣泛應用。
均衡吸收凸子集：半範數常通過Minkowski泛函與這類集合關聯，用于研究空間的幾何性質。
控制理論：在H∞控制理論中，半範數用于描述系統傳遞函數的優化指标。

4.例子

平凡半範數：對所有向量定義( p(x) = 0 )，顯然滿足半範數條件。
函數空間半範數：在連續函數空間上，定義( p(f) = |f(0)| )，此時( p(f)=0 )并不要求( f )在所有點為零。

半範數通過放寬範數的正定性條件，擴展了其在拓撲線性空間和優化問題中的應用場景。它在描述局部凸空間、構建廣義度量框架等方面具有重要作用。