对角化英文解释翻译、对角化的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 diabonalization

on the cross

burn up; change; convert; melt; spend; turn

对角化（Diagonalization）是线性代数中的核心概念，指通过相似变换将方阵转化为对角矩阵的过程。以下是其详细解释：

数学表述
若存在可逆矩阵 ( P ) 和对角矩阵 ( D )，使得 ( P^{-1}AP = D )，则称方阵 ( A ) 可对角化。其中 ( D ) 的主对角线元素为 ( A ) 的特征值，( P ) 的列向量为对应的特征向量。 来源：高等教育出版社《线性代数》
英文对照
- 对角化：Diagonalization
- 对角矩阵：Diagonal matrix
- 特征值/特征向量：Eigenvalues/Eigenvectors
  来源：Cambridge Dictionary of Mathematics

矩阵可对角化的充要条件：

简化矩阵运算
对角化将矩阵幂转化为对角矩阵的幂运算： ( A^k = PD^kP^{-1} )，显著降低计算复杂度。 来源：IEEE Transactions on Automatic Control
物理与工程领域
在量子力学中，对角化哈密顿顿量求解系统能级；在控制理论中用于分析系统稳定性。

来源：Springer《Applied Linear Algebra》

考虑矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )：

特征值 ( lambda_1=2, lambda_2=3 )；
特征向量 ( v_1=(1,0)^T, v_2=(1,1)^T )；
对角化形式： ( A = begin{pmatrix} 1 & 10 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 00 & 3 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & -10 & 1 end{pmatrix} )。
来源：MIT OpenCourseWare Linear Algebra Lecture Notes

对角化是线性代数中的一个核心概念，指将矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。以下是关键点解释：

定义与目的对角化是指找到一个可逆矩阵( P )和对角矩阵( D )，使得原矩阵( A )满足： $$ P^{-1}AP = D $$ 对角矩阵的主对角线元素是( A )的特征值，其余元素为0。这一过程可简化矩阵运算（如求幂、解微分方程）。
可对角化的条件
- 矩阵( A )必须是方阵；
- ( A )需要有( n )个线性无关的特征向量（( n )为矩阵阶数）；
- 若( A )有重复特征值，其几何重数需等于代数重数。
对角化步骤 (1) 求( A )的特征值：解特征方程( det(A - lambda I) = 0 ); (2) 对每个特征值求对应特征向量； (3) 构造矩阵( P )，其列由特征向量组成； (4) 验证( P )可逆，且满足( P^{-1}AP = D )。
实例说明以矩阵( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )为例：
- 特征值( lambda_1=2 )，对应特征向量( begin{pmatrix}10end{pmatrix} );
- 特征值( lambda_2=3 )，对应特征向量( begin{pmatrix}11end{pmatrix} );
- 构造( P = begin{pmatrix}1&10&1end{pmatrix} )，得到对角矩阵( D = begin{pmatrix}2&00&3end{pmatrix} )。
应用与限制
- 应用：简化矩阵幂运算( A^k = PD^kP^{-1} )、解线性方程组、量子力学中的态空间表示等；
- 限制：不可对角化矩阵需用若尔当标准形处理，例如存在缺陷特征向量时。

若需进一步理解具体计算过程，建议通过线性代数教材中的习题练习，并验证特征向量的线性无关性。