對角化英文解釋翻譯、對角化的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 diabonalization

on the cross

burn up; change; convert; melt; spend; turn

對角化（Diagonalization）是線性代數中的核心概念，指通過相似變換将方陣轉化為對角矩陣的過程。以下是其詳細解釋：

數學表述
若存在可逆矩陣 ( P ) 和對角矩陣 ( D )，使得 ( P^{-1}AP = D )，則稱方陣 ( A ) 可對角化。其中 ( D ) 的主對角線元素為 ( A ) 的特征值，( P ) 的列向量為對應的特征向量。 來源：高等教育出版社《線性代數》
英文對照
- 對角化：Diagonalization
- 對角矩陣：Diagonal matrix
- 特征值/特征向量：Eigenvalues/Eigenvectors
  來源：Cambridge Dictionary of Mathematics

矩陣可對角化的充要條件：

簡化矩陣運算
對角化将矩陣幂轉化為對角矩陣的幂運算： ( A^k = PD^kP^{-1} )，顯著降低計算複雜度。 來源：IEEE Transactions on Automatic Control
物理與工程領域
在量子力學中，對角化哈密頓頓量求解系統能級；在控制理論中用于分析系統穩定性。

來源：Springer《Applied Linear Algebra》

考慮矩陣 ( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )：

特征值 ( lambda_1=2, lambda_2=3 )；
特征向量 ( v_1=(1,0)^T, v_2=(1,1)^T )；
對角化形式： ( A = begin{pmatrix} 1 & 10 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 00 & 3 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & -10 & 1 end{pmatrix} )。
來源：MIT OpenCourseWare Linear Algebra Lecture Notes

對角化是線性代數中的一個核心概念，指将矩陣通過相似變換轉化為對角矩陣的過程。以下是關鍵點解釋：

定義與目的對角化是指找到一個可逆矩陣( P )和對角矩陣( D )，使得原矩陣( A )滿足： $$ P^{-1}AP = D $$ 對角矩陣的主對角線元素是( A )的特征值，其餘元素為0。這一過程可簡化矩陣運算（如求幂、解微分方程）。
可對角化的條件
- 矩陣( A )必須是方陣；
- ( A )需要有( n )個線性無關的特征向量（( n )為矩陣階數）；
- 若( A )有重複特征值，其幾何重數需等于代數重數。
對角化步驟 (1) 求( A )的特征值：解特征方程( det(A - lambda I) = 0 ); (2) 對每個特征值求對應特征向量； (3) 構造矩陣( P )，其列由特征向量組成； (4) 驗證( P )可逆，且滿足( P^{-1}AP = D )。
實例說明以矩陣( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )為例：
- 特征值( lambda_1=2 )，對應特征向量( begin{pmatrix}10end{pmatrix} );
- 特征值( lambda_2=3 )，對應特征向量( begin{pmatrix}11end{pmatrix} );
- 構造( P = begin{pmatrix}1&10&1end{pmatrix} )，得到對角矩陣( D = begin{pmatrix}2&00&3end{pmatrix} )。
應用與限制
- 應用：簡化矩陣幂運算( A^k = PD^kP^{-1} )、解線性方程組、量子力學中的态空間表示等；
- 限制：不可對角化矩陣需用若爾當标準形處理，例如存在缺陷特征向量時。

若需進一步理解具體計算過程，建議通過線性代數教材中的習題練習，并驗證特征向量的線性無關性。