对数微分英文解释翻译、对数微分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 logarithmic differentiation

logarithm
【计】 logarithmic
【经】 logarithm

【计】 differential calculus
【经】 differential

对数微分（Logarithmic Differentiation）是微积分中用于简化特定类型函数求导过程的一种方法，尤其适用于由多个函数相乘、相除或具有变量指数的复杂函数。其核心思想是先对函数取自然对数，再利用对数性质简化表达式，最后通过隐函数求导得到原函数的导数。

连乘/连除函数
例如 ( y = x sin x cdot e^x ) ，直接求导需多次用乘积法则，而对数微分可转化为：

( ln y = 2ln x + ln(sin x) + x ) ，简化求导过程。
变量指数函数
如 ( y = x^x ) ，取对数后：

( ln y = x ln x ) ，

求导得 (frac{1}{y} y' = ln x + 1) ，故 ( y' = x^x (ln x + 1))。

中文术语	英文术语
对数微分	Logarithmic Differentiation
自然对数	Natural Logarithm ((ln))
隐函数求导	Implicit Differentiation
链式法则	Chain Rule

该方法通过降低函数复杂度提升求导效率，是处理乘积、商、幂指函数导数的标准工具，广泛应用于工程与物理建模中的微分方程求解。

对数微分（Logarithmic Differentiation）是一种求导方法，适用于形式复杂的函数（如幂指函数、多因子乘积等）。其核心思想是通过对函数取自然对数，将复杂的乘除、幂运算转化为加减、乘法运算，从而简化导数计算。

取自然对数
设函数 ( y = f(x) )，首先对两边取自然对数： $$ ln y = ln left[ f(x) right] $$ 这一操作可将乘积转化为加法（如 ( ln(ab) = ln a + ln b )）、商转化为减法（如 ( ln(a/b) = ln a - ln b )）、幂转化为乘法（如 ( ln(a^b) = b ln a )）。
隐函数求导
对等式两边关于 ( x ) 求导： $$ frac{1}{y} cdot frac{dy}{dx} = frac{d}{dx} left[ ln f(x) right] $$ 左边应用链式法则，右边根据 ( f(x) ) 的具体形式求导。
解出导数
整理得到： $$ frac{dy}{dx} = y cdot frac{d}{dx} left[ ln f(x) right] $$

幂指函数（如 ( y = x^x )）
直接求导困难，但对数微分后变为： $$ ln y = x ln x implies frac{y'}{y} = ln x + 1 implies y' = x^x (ln x + 1) $$
多因子乘积或商（如 ( y = frac{(x+1) sqrt{x-2}}{x} )）
取对数后展开为加减运算，简化求导过程。
变量在底数和指数中同时出现（如 ( y = [u(x)]^{v(x)} )）
对数处理将问题转化为显式函数求导。

通过这种方法，原本复杂的求导问题可转化为更易处理的形式，特别适合工程、物理等领域中常见的复合函数。