对偶锥英文解释翻译、对偶锥的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual cone

分词翻译：

对偶的英语翻译：

【计】 antithetic
【医】 allelo-

锥的英语翻译：

awl; prick; wimble
【医】 cone; drill

专业解析

对偶锥（Dual Cone）是数学优化与凸分析中的核心概念。从汉英词典角度可定义为：对于给定锥体( K subseteq mathbb{R}^n )，其对偶锥( K^ )是所有满足内积非负的向量构成的集合，即

$$ K^ = { y in mathbb{R}^n mid y cdot x geq 0, , forall x in K }. $$

这一概念在凸优化理论中用于描述原锥的“互补空间”特性。

关键性质与解释

几何意义：对偶锥通过内积定义，其元素( y )与原锥( K )中所有向量夹角不超过90度，体现几何正交性。
自反性：若原锥( K )是闭凸锥，则其对偶锥的对偶锥( K^{} )等于原锥自身，即( K^{} = K )。
常见类型：
- 非负象限锥的对偶锥是其自身。
- 半正定锥的对偶锥仍为半正定锥。

应用场景

对偶锥在拉格朗日对偶、锥规划（如二阶锥规划、半定规划）及经济学均衡模型中起关键作用。例如，在优化问题中，对偶锥可用于构造对偶问题的可行域。

参考文献

Boyd, S. & Vandenberghe, L. Convex Optimization. Cambridge University Press. 链接
Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton University Press.
Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. Wiley.

网络扩展解释

对偶锥是凸优化和泛函分析中的重要概念，用于描述锥结构之间的对偶关系。以下从定义、数学表达、几何意义、性质及示例五个方面进行详细解释：

1.定义

对偶锥（Dual Cone）又称极锥，是实线性空间中凸锥的对偶集合。具体来说，若 ( X ) 是实线性空间，( C subseteq X ) 为凸锥，则其对偶锥 ( C^ ) 定义为所有满足以下条件的线性泛函集合： [ C^ = { y in X^* mid langle x, y rangle geq 0, , forall x in C } ] 其中 ( langle x, y rangle ) 表示 ( x ) 与 ( y ) 的内积（或对偶配对）。

2.数学表达

更一般地，对于任意锥 ( K subseteq mathbb{R}^n )，其对偶锥的数学表达式为： [ K^* = { y in mathbb{R}^n mid x^T y geq 0, , forall x in K } ] 此定义表明，( y ) 需与原锥 ( K ) 中所有向量的内积非负。

3.几何意义

对偶锥中的向量 ( y ) 可视为原锥 ( K ) 的支撑超平面的法向量（见图示）。即，若 ( y in K^* )，则超平面 ( { x mid x^T y = 0 } ) 在原点处支撑锥 ( K )，且半空间 ( { x mid x^T y geq 0 } ) 包含 ( K )。

4.核心性质

凸性：即使原锥 ( K ) 非凸，( K^* ) 仍为凸锥。
闭包与对偶性：若 ( K ) 是闭凸锥，则 ( (K^)^ = K )。
包含关系：若 ( K_1 subseteq K_2 )，则 ( K_2^ subseteq K_1^ )。
自对偶性：某些锥（如非负象限、半正定锥）满足 ( K^* = K )。

5.示例

非负象限：( mathbb{R}^n+ ) 的对偶锥为自身，即 ( (mathbb{R}^n+)^* = mathbb{R}^n_+ )。
半正定锥：半正定矩阵集合 ( S^n+ ) 的对偶锥也是自身，即 ( (S^n+)^* = S^n_+ )。
范数锥：对于范数 ( | cdot | )，范数锥 ( K = { (x, t) in mathbb{R}^n times mathbb{R} mid | x | leq t } ) 的对偶锥由对偶范数定义。

对偶锥通过内积非负性刻画了原锥的结构特性，在优化理论中用于构建对偶问题，并广泛应用于二阶锥规划、半定规划等领域。其核心性质（如凸性、闭包、自对偶性）为分析锥的几何与代数关系提供了工具。更多完整信息可参考及等来源。